0253

254

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

3) Wokół półkuli o promieniu r opisać stożek kołowy prosty o najmniejszej objętości. Zakładamy przy tym, że podstawy półkuli i stożka leżą w jednej płaszczyźnie i są współśrodkowe (rys. 67).

Trzeba tu jeszcze wybrać w sposób racjonalny zmienną niezależną. Niech będzie nią kąt </> przy wierzchołku stożka. Używając oznaczeń z naszego rysunku będziemy mieli R=rjcos <p, ń=r/sin ę, tak że objętość

1 2    t™³

v=^n R²h ——r-•

³    cos ę sin <p

Na to, by objętość v osiągnęła swą wartość najmniejszą, potrzeba oczywiście, żeby wyrażenie y= =cos² psin ę w mianowniku osiągnęło wartość największą spośród wartości dla p z przedziału (0, ijr). Mamy

y'₉= — 2 cos p • sin²p+cos³p=2cos³p(i—tg²p) ;

między 0 a ~n pochodna jest równa zeru tylko wtedy, gdy tg p = 1/^/2, <p = arc tg 1 jyjl (co odpowiada kątowi 35°15'52"), zmieniając przy tym znak z plusa na minus. Tej wartości kąta odpowiada największa wartość wyrażenia y i najmniejsza objętość v.

Rys. 68

4) Ciężar o wadze G leżący na płaszczyźnie poziomej ma być przesunięty przez przyłożoną doń siłę (rys. 68). Pod jakim kątem do płaszczyzny poziomej należy przyłożyć tę siłę, żeby przy uwzględnieniu tarcia wiplkość jej F była najmniejsza? Współczynnik tarcia fi jest dany.

Wskazówka. Uważamy, że tarcie jest proporcjonale do siły przyciskającej ciało do płaszczyzny (prawo Coulomba) i skierowane w stronę przeciwną do ruchu. Współczynnik proporcjonalności fi jest właśnie współczynnikiem tarcia.

Wyznaczymy siłę F, która odpowiada danemu kątowi 0. Rozkładając ją w kierunku poziomym i pionowym otrzymamy dla składowych wielkości F cos 8 i Fsin 8. Siła przyciskająca ciało do płaszczyzny będzie równa G—Fsin 0, tak że w myśl prawa Coulomba tarcie R — fi(G —Fsin 0); składowa pozioma F cos 0 siły ciągnącej F ma właśnie zrównoważyć to tarcie

Fcos0=fi(G-FsmO),

skąd

F=-—- •

cos 0+# sin 0

Chodzi o znalezienie najmniejszej wartości tej funkcji lub największej wartości funkcji y=cos 8+ +/i sin 8 przy zmianie 0 w przedziale <0, j7t>. Pochodna y'_e = u cos 8 — sin 8 jest równa 0, gdy tg 8 = fi, tj. 0=arctg/i; kąt 8 nazywa się kątem tarcia. Ponieważ y'_e'i = — //sin0—cos8<0, więc najwygodniej jest przyłożyć siłę pod kątem równym kątowi tarcia. Jeśli na przykład trzeba przesunąć kamień wzdłuż drewnianego pokrycia, to fi = 0,4 i 8x22°.