0385

386

V. Funkcje wielu zmiennych

Odpowiednie spadki napięcia na tych odcinkach obliczamy z prawa Ohma

e₂ = r₂Ji>

phJi

e₂ = r₂J₂=*

pl₂J₂

<72

Ćn — r_nJ_H —

pUn

Aby uniknąć skomplikowanych rachunków, wprowadzimy zamiast zmiennych q_lt q₂,..., q„ właśnie te wielkości e₂, e₂.....e„ związane prostym warunkiem

ei+e₂ + ...+e„-i+e„=e,    skąd e„=e—e₂ — e₂ —...— e„_₁.

Teraz

<7i =

pliJi

e₂ = -

pl₂J₂

<7» = -

PUn

PU»

e — e₂— e₂ —...— e„_,

oraz

(lUi , lLiJ»-i , llJ. \

u=p (--I-..H---1--.

\ e_t    e-e_l-...~e,-_lJ

przy czym obszar zmienności zmiennych niezależnych e_l,e₂,, e„_ i o kreślony, jest nierównościami «i>0,    e₂>0,    ....    e„_i>0,    +^2 +...+e,_i <e

(sympleks otwarty).

Przyrównując do zera pochodne u względem wszystkich zmiennych otrzymujemy układ równań

lUi _

e\ (e-e₂

llJ₂

llJ,

!⁼0>

e\ (e—e_l — ...—e„.i)¹

,    A?/,

e„-i (e—<?i —...—e»-i)²

=0,

=0.

Stąd, wprowadzając znów e„, otrzymujemy

I² J

^Łn

lU₁_l₂J₂₌___

e\ el    e²

Wygodnie jest oznaczyć wspólną wartość wszystkich tych stosunków przez l/l² (ż>0). Wówczas ei—khsj    e₂ — kl₂yj J₂ ,    ...,    e„ = A/n-y//_B,

przy czym X łatwo jest wyznaczyć z warunku ei+e₂ + ...+e_n=e:

X=

e

li \fjy +l₂ yf J₂ + ... + /„\/ Jn

Ponieważ u rośnie nieograniczenie przy przybliżaniu się punktu (e_lte₂.....e«_i) do brzegu ob

szaru, przeto dla znalezionych wartości e_t, e₂,.... e_n-_t (e„) funkcja u przybiera rzeczywiście wartość najmniejszą.

Na koniec, wracając do potrzebnych nam zmiennych q_it q₂,.... q„, znajdujemy

Zatem najekonomiczniejsze przekroje przewodów okazują się proporcjonalne do pierwiastków kwadratowych z odpowiednich natężeń prądów.