386


V. Funkcje wielu zmiennych

Odpowiednie spadki napięcia na tych odcinkach obliczamy z prawa Ohma

e2 = r2Ji>


phJi


e2 = r2J2=*


pl2J2

<72


Ćn — rnJH —


pUn


Aby uniknąć skomplikowanych rachunków, wprowadzimy zamiast zmiennych qlt q2,..., q„ właśnie te wielkości e2, e2.....e„ związane prostym warunkiem

ei+e2 + ...+e„-i+e„=e,    skąd e„=e—e2 — e2 —...— e„_1.

Teraz

<7i =


pliJi


e2 = -


pl2J2


<7» = -


PUn


PU»


e — e2— e2 —...— e„_,


oraz


(lUi , lLiJ»-i , llJ. \

u=p (--I-..H---1--.

\ et    e-el-...~e,-lJ

przy czym obszar zmienności zmiennych niezależnych el,e2,, e„_ i o kreślony, jest nierównościami «i>0,    e2>0,    ....    e„_i>0,    +^2 +...+e,_i <e

(sympleks otwarty).

Przyrównując do zera pochodne u względem wszystkich zmiennych otrzymujemy układ równań

lUi _

e\ (e-e2

llJ2


llJ,


!=0>


e\ (e—el — ...—e„.i)1

,    A?/,

e„-i (e—<?i —...—e»-i)2

=0,


=0.


Stąd, wprowadzając znów e„, otrzymujemy

I2 J

Łn


lU1_l2J2=___

e\ el    e2

Wygodnie jest oznaczyć wspólną wartość wszystkich tych stosunków przez l/l2 (ż>0). Wówczas ei—khsj    e2 — kl2yj J2 ,    ...,    e„ = A/n-y//B,

przy czym X łatwo jest wyznaczyć z warunku ei+e2 + ...+en=e:

X=


e

li \fjy +l2 yf J2 + ... + /„\/ Jn

Ponieważ u rośnie nieograniczenie przy przybliżaniu się punktu (elte2.....e«_i) do brzegu ob

szaru, przeto dla znalezionych wartości et, e2,.... en-t (e„) funkcja u przybiera rzeczywiście wartość najmniejszą.

Na koniec, wracając do potrzebnych nam zmiennych qit q2,.... q„, znajdujemy

Zatem najekonomiczniejsze przekroje przewodów okazują się proporcjonalne do pierwiastków kwadratowych z odpowiednich natężeń prądów.