0433

3 ’

3 ’

434

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Dalsze różniczkowanie daje

d³u (d²y\² d²u d³y dt³ \dx²] dt² dx³

a więc

dj>

dx³

d³u

~d?

itd.

Zauważmy, że interpretując geometrycznie przekształcenie Legendre’a nie otrzymujemy przekształcenia punktowego. Aby określić współrzędne t, u punktu P, nie wystarczy bowiem znać współrzędne x, y punktu M — potrzebny jest jeszcze współczynnik kierunkowy dyjdx stycznej do rozpatrywanej krzywej y=f(x) w tym punkcie. Mimo to krzywa przekształca się prz,y tym przekształceniu także w krzywą i styczność krzywych jest zachowana (')■

219. Funkcje wielu zmiennych. Zamiana zmiennych niezależnych. Przejdźmy teraz do zagadnienia zamiany zmiennych w wyrażeniu

W

y,

dz dz dx’ dy

d² z B^zz dx²' dydx ’

)•

zawierającym oprócz zmiennych niezależnych x,y,... i ich funkcji z także pochodne cząstkowe aż do pewnego rzędu funkcji z względem jej argumentów.

Przejście do nowych zmiennych związanych ze starymi zmiennymi wzorami na przekształcenie może się tutaj okazać potrzebne z tych samych powodów co i w prostszym przypadku, omówionym wyżej.

Oznaczmy przez t, «, ... nowe zmienne niezależne i przez v funkcję tych zmiennych. Zadanie

potęga na tym, żeby wyrazić W przez t,u.....v i pochodne cząstkowe funkcji v względem jej

argumentów. Oczywiście wystarczy, gdy będziemy umieli wyrażać w ten sposób stare pochodne dz dz    d² z d²z

—,—, ..., —r,    , ... Dla skrócenia zapisów przyjmiemy, że są tylko dwie zmienne niezależne

dx dy    dx dxuy

stare x, y i dwie nowe t, u.

Zaczniemy i tutaj od przypadku, gdy zamieniamy tylko zmienne niezależne i wzory na przekształcenie wiążą bezpośrednio stare i nowe zmienne.

Załóżmy, że wzory na przekształcenie są rozwiązane względem starych zmiennych

(8)

■x=<p(t,u),    y=i//(l,u).

Traktując z jako funkcję złożoną zmiennych t i u za pośrednictwem x i y obliczamy według reguły różniczkowania funkcji złożonych

dz dx dz dy dz dz dx dz dy dz ^ ^    dt dt dx dt dy ’ du da dx ^ du dy

Dla wyznaczenia starych pochodnych dzidx i dzidy mamy zatem układ równań liniowych, z którego możemy je wyrazić liniowo przez nowe pochodne

(10)

dz    dz    dz    dz    dz    dz

—    ---_tj} — ,    — = C--b D — .

dx    dt    du    dy    dt    du

Należy przy tym podkreślić, że współczynniki A, B, C i D utworzone są z pochodnych funkcji ę i y

(‘) Podobne przekształcenia zachowujące styczność odgrywają ważną rolę w licznych działach geometrii i analizy. Nazywamy je przekształceniami stycznościowymi. Rozpatrzone przekształcenia punktowe i przekształcenie Legendre’a są ich szczególnymi przypadkami.