0439

440

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Metoda odwrotna. Zmiennymi niezależnymi są x, y. Aby móc skorzystać ze wzorów (11), trzeba dr    30 dr    d0

znać pochodne-->---> ——» ——. Można je znaleźć rozwiązując najpierw względem nowych zmienił;*: dx    dy dy

nych równania wiążące stare zmienne z nowymi, można też posłużyć się metodami różniczkowania funkcji uwikłanych nie rozwiązując równań. Zróżniczkujmy względem x i względem y wzory na prze-

przy	tym r	i 6	jako funkcje	x i y. Otrzymamy
		dr	d 0	dr	d9
1	= COS0	z_	— rsinO —,	O=sin0--l-rcos#	_
			X	dx	dx
	—cos 9	dr	d0	dr	de
0		—	— r sin 0 — ,	1 =sin<?--hrcosd	__
		By	dy	dy	dy

= COS0,

Stąd

dr

dx

dO    sin 9

dx    r

dr    d9 cos 0

— = sind, ----.

dy    dy r

Korzystając teraz ze wzorów (11) dostajemy znów wzory (25), itd.

Metoda obliczania różniczek. Niech zmiennymi niezależnymi będą nadal x i y. Obliczamy różniczki ze wzorów na przekształcenie

skąd

Wobec tego

dx=cos9 dr — r sin 9 dO,    dy=sin 0 dr+ r cos OdO,

— sin 0 dx -f cos 0 dy

dr=cos9 dx + sinO dy, dO —--•

r

dz    dz    I    dz    sin<?    dz\    /    dz    cos 9 dz\

dz= dr-i— d9={cos 9--------• — | dx +1 sin 0---1---• — I dy,

dr    dO    \    dr r    dOj    \    dr r dO)    *

co znowu prowadzi do wzorów (25).

Zróżniczkujmy powtórnie wzory na dr i dO:

d²r——sm0d0dx +cos 0 dOdy =

sin² 0dx² — 2s\n0cos9dxdy + cos² 0dy²

d²0=

— r (cos 0dx+sin0dy)d0 — (cos0dy-sin0dx)dr

2 sin 0 cos 0dx² —2 (cos² 0 — sin² 0) dxdy — 2 sin 0 cos 9 dy²

Wobec tego

, d²z    , d²z    d²z    , dz    ₂ dz    ,

d²z = —_i dr +2-drdOĄ--_Td0²-r —d²r+ —d²0=

dr²    drdO    dO² dr dO

-ii

cos 9-

d²z. 2sin0cos<ł d²z sin²d d²z sin² 0 dz 2sin(łcosd dz

dr²    r drdO

2(...)dxdy\(,..)dy².

-|----

d0²⁺ r dr ⁺

0cos0 3z^

7² do)

— \dx‘ +

Otrzymujemy stąd dla drugich pochodnych d²z/dx²,... te same wyrażenia co przedtem. Rozpatrzmy na przykład wyrażenia