0487

488

Vn. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

5) Dana jest elipsa —-+—=1. Będziemy szukali obwiedni rodziny okręgów, których średnicami są

a² b²

cięciwy tej elipsy równoległe do osi y (rys. 144).

Przyjmując jako parametr odciętą t środka okręgu napiszemy równanie tej rodziny w postaci

t2

F(x, y, t)=(x-0²+/-^-(a²-«²)=0 , a

pr2y czym t zmienia się w przedziale <—a,a>. Jest tutaj

2 b¹    a²

FI—— 2{x—t)Ą—y ^,=0 .    skąd    ——₂ x .

a    a +b

Podstawiając tę wartość t do równania F— 0 otrzymamy równanie obwiedni

(2,2    ,2/    4.2,

^x-a^)^+y ~A^a

lub po przekształceniu

r² y² a²+b^{2 +} b^{I = i}'

Otrzymaliśmy elipsę mającą te same osie symetrii co dana elipsa.

Interesujące jest, że znaleziona elipsa jest styczna nie do wszystkich okręgów rodziny. Łatwo to dostrzeżemy, jeżeli nie będziemy rugowali t z równań F= 0 i Fi=0, lecz wyrazimy z tych równań x i y przez t:

x=~~ ^b _t, y=±^y/a*-(a²+b²)t². a    a

2

^Q

Od razu teraz widać, że y jest rzeczywiste tylko wtedy, gdy |f)< .    - . A więc tylko dla części

V a² + b²

rodziny okręgów, odpowiadającej tym wartościom t, istnieje obwiednia.

Ten pouczający przykład pokazuje, że- parametryczne przedstawienie obwiedni może być wygodniejsze, bo łatwiej jest z niego dostrzec, dla jakiej części rodziny krzywych obwiednia rzeczywiście istnieje.