0503

504

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

249. Łuk jako parametr. Zwrot dodatni stycznej. Ponieważ zmienny łuk s=s(t) jest funkcją ciągłą i ściśle rosnącą parametru t, parametr ten może być z kolei rozpatrywany jako jednoznaczna i ciągła funkcja t=co(s) zmiennej s, przy czym s może się zmieniać od 0 do długości S całej krzywej [83]. Podstawiając co(s) zamiast t w równaniach (1) możemy przedstawić współrzędne bieżące x i y jako funkcje zmiennej s:

x=ę>(eo(s))=<P(s),

y=if/((o(s))- «P(s).

Łuk s grający rolę „odciętej” krzywoliniowej punktu Mjest niewątpliwie najnaturalniejszym parametrem określającym położenie tego punktu.

Zauważmy, że punkt początkowy A, od którego liczymy łuk s, może nie być jednym z końców rozpatrywanego łuku krzywej. Wówczas — jak to wyjaśniliśmy wyżej — łuk s może przybierać wartości dodatnie i ujemne.

Niech punkt M(x, y) krzywej przedstawionej równaniami (1) będzie punktem zwykłym. W punkcie tym zatem (patrz (10)):

s_tWx,'² + y;²>0, _

a więc [941 dla odpowiedniej wartości s (i w jej otoczeniu) istnieje ciągła pochodna

t;=£o'(s)=

Istnieją zatem również i są ciągłe pochodne

dx    dv

— = «£'(*), -f = !P'(s).

ds    ds

Przyjmując, że wszystkie różniczki są wzięte na przykład względem s otrzymujemy z podstawowego wzoru (11):

Tym samym jeżeli punkt M jest punktem zwykłym w przedstawieniu (1) krzywej, to jest też punktem zwykłym po przejściu do parametru s. Dalej, wzór (12) pozwala udowodnić następujące użyteczne twierdzenie:

Niech M będzie zwykłym punktem krzywej, a M, niech oznacza zmienny punkt tej krzywej. Wówczas gdy M_x dąży do M, to stosunek długości cięciwy MM_X do długości łuku MM_X dąży do jedności (^ł)

(13)

lim

—MM i-0

MM _t 'MM _t

MMi zamiast „długość

(‘) Dla uproszczenia piszemy MAf, zamiast „długość odcinka AfAfi” i —-łuku MM,".