050

50

2. Zmienne losowe

Zadanie 2.4.4.

Korzystając z funkcji charakterystycznej zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a,b] znaleźć EX.

Zadanie 2.4.5.

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X ma postać ę(t) = c Czy istnieje EX? Zadanie 2.4.6.

Niech X₁,...,X„ będą zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie Poissona z parametrami odpowiednio    Korzystając z własności funkcji charakterystycznych

pokazać, że zmienna losowa Y = Xj d-----b X„ ma rozkład Poissona.

Zadanie 2.4.7.

Korzystając z funkcji charakterystycznej rozkładu wykładniczego obliczyć momenty rzędu k tego rozkładu.

Zadanie 2.4.8.

Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej

m

losowej o gęstości

ae“

0

dla x < 0, dla x > 0,

dla a > 0. Korzystając z niej wyznaczyć moment rzędu k.

Zadanie 2.4.9.

Zmienna losowa ma gęstość f(x) = j3e~“W dla a > 0. Obliczyć J3 jako funkcję a. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną.

Zadanie 2.4.10.

Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości

2x dla x € [0,1],

0 dla x(j, [0,1].

Korzystając z niej obliczyć EX oraz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej Y = 2X+l.

Zadanie 2.4.11*.

Niech X i Y będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na odcinku [—0.5,0.5]. Udowodnić, że ich suma ma rozkład o gęstości

x+ 1 —x+ 1 0

dla x e [—1,0), dla x e [0,1], dla x ^ [—1,1].