052

3. Twierdzenia graniczne

3.1. Nierówność Czebyszewa i prawa wielkich liczb

Przykłady Przykład 3.1.1.

Z partii towaru o wadliwości 2% wylosowano bez zwracania 400 elementów. Korzystając z nierówności Markowa oszacować prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych elementów liczba wadliwych nie będzie przekraczać 5%.

Rozwiązanie.

Niech X oznacza liczbę elementów wadliwych wśród wylosowanych. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy o parametrach p = 0.02 i n = 400. Należy oszacować Pr(X 0.05-400). Z nierówności Markowa

otrzymujemy

Pr(X ^ a) <

EX

a

Pr(X ^ 20) = 1 -Pr(X ^ 21) > 1

Przykład 3.1.2.

Ilu jednakowych i niezależnych doświadczeń należy dokonać, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 można było stwierdzić, że częstość interesującego nas zdarzenia będzie odchylać się od prawdopodobieństwa pojawienia się tego zdarzenia w jednym doświadczeniu, równego 0.4 nie więcej niż o 0.1? Skorzystać z nierówności Czebyszewa.

Rozwiązanie.

Częstość występowania interesującego nas zdarzenia można zapisać jako X/n, gdzie X jest liczbą pojawień się zdarzenia w n doświadczeniach. Ponieważ X ma rozkład dwumianowy z parametrami p = 0.4 oraz n, więc

npą 0.4-0.6

n

6

25n