058 Y

15. Prawo Hooke’a

Konstrukcje projektuje się tak. aby podczas eksploatacji pracowały w zakreślę Imiowo-sprężystym (tzn. elementy po odciążeniu powinny wracać do swoich wymiarów pierwotnych), natomiast obciążenia graniczne (niszczące) oblicza się często w zakresie sprężysto-plastycznym. Powyższe założenie jest niezwykle istotne w obliczeniach wytrzymałościowych konstrukcji, ponieważ do granicy proporcjonalności materiał jest liniowo — sprężysty i obliczenia przeprowadzany zgodnie z liniową teorią sprężystości.

Naprężenie w dowolnym punkcie ciała jest to granica, do której dąży stosunek elementarnej siły wewnętrznej AP do elementu powierzchni AF —>0

AP _r

a — ura wPa\    ns n

ap-*o-ĄP -    '• *'

W ogólnym przypadku naprężenie jest tensorem. Zgodnie z zasadą de..Saint-Venanf*a zakładamy, że w przekrojach położonych w pewnej odległości od punktu przyłożenia siły, rozkład naprężeń rozciągających jest równomierny, jak na lysunku 15.la. Zależność siła-wydłużenie lub naprężenie-odkszłalccnie ma charakter liniowy; zależność tę pokazano tut rys. 15. Ib.

Podstawowym równaniem określającym zależność między naprężeniami o i odkształceniami £ jest prawo Hooke'a. Prawo to znane z fizyki zapisujemy w postaci prostych wzorów

A/ ^Pl    ~    AZ    ł

A/ = —    albo    A/=^—-    (152)

EF    E

ponieważ

AJ    <7

£ — — to e - — iub o* a* e i E    (153)

gdzie: P — siła rozciągająca,

I - długość początkowa, Al — wydłużenie pręta,

F- pierwotny przekrój poprzeczny próbki,

E—stała charakteryzująca sprężystość materiału, nazywana modułem sprężystości lub modułem Younga.

Moduł Younga E określany jako współczynnik charakteryzujący sprężystość materiału może kojarzyć się z liczbą bezwymiarową, tymczasem stała tn ma wymiar naprężenia. Jeżeli pręt o długości l będzie rozciągany naprężeniami o = E, wówczas jego wydłużenie obliczone na postawie prawa Hooke’a wynos

— /. interpretację fizyczną modułu Younga można przedstawić

jako naprężenie po przyłożeniu* którego wydłużenie jest równe długości poc/ąt-

kowej. Większość materiałów ulega zerwaniu przy tJ «■/, n zatem podana interpretacja fizyczna modułu E jest poglądowa. Tak dużą odkształcatność posiada tylko guma i niektóre tworzywa sztuczne, pozostałe materiały znacznie wcześniej ulegają rozerwaniu, w takich przypadkach moduł sprężystości E określamy na podstawie próby rozciągania. Jest to tangens nachylenia prostoliniowej części wykresu rozciągania (rys. I5.1b), a jego wartość wyznaczamy ze wzoru

E =

<X

£

-rga

(15-4)

Rys. |5,| ■) Rozkład    ro/cuąpgąc>«ł» w prwtaojschpro«ojvuJhchdoo*i f*cu.

b) zaleznoSC naptęzenie - odksaakente (o*«) w ukmic Iinkm<v4p<w>stym

59