062

4. Podstawowe pojęcia statystyki

4.1. Rozkłady statystyk

Przykłady Przykład 4.1.1.

Niech X₁,...,X„ będzie próbą prostą z populacji normalnej N(— 1,<t). Korzystając z odpowiednich twierdzeń i tablic obliczyć:

a)    Pr (|X| > 2), gdy n = 16 i a = 3,

b)    Pr(X < —0.78), gdy n = 100, a nieznane <7 jest oszacowane przez s — 3.3. Rozwiązanie.

a) Wiadomo, że X ~ N (m, cr / y/n), gdy X_l,...,X„ jest próbą prostą z populacji N(m, o), gdzie m i c są znane. Zatem

Pr (|X| >2) = 1 — Pr (—2 ^ X ^ 2)

'—2—(—1) _<X —(—1)

1 - Pr

3/4    ^    3/4

(<&(4) — <J>(4/3)) = 0.0918.

3/4 J

X — m

b) Skorzystamy z faktu, że —-—y/n ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1), gdy X,,... ,X„ jest próbą prostą z populacji o skończonej wariancji. Wynika to z centralnego twierdzenia granicznego. Zatem

Pr(X < -0.78)

,Pr(tlyTÓÓ<^Zi_iH)^oo

« d>(0.6667) = 0.7486.

Przykład 4.1.2.

Niech X_pX₂,...,X_n będzie próbą prostą z populacji normalnej N(m,2). Korzystając z odpowiednich twierdzeń i tablic obliczyć:

a)    Pr (S² > 4.3), gdy n = 18,

b)    Pr(ś²<3.9), gdy n = 51.