062

62

3. Twierdzenia graniczne

Dowód. Niech Y = (X — m)². Wtedy EY — D²X oraz zmienna losowa Y spełnia założenia twierdzenia 3.1.1. Stosując do tej zmiennej nierówność (3.1.1) otrzymujemy nierówność

2

Pr((X-//i)²^*)) ^ y

Przyjmując k — t² mamy nierówność

Pr((X-m)²>f²)<^,

v-

skąd wynika teza twierdzenia.    □

Przykład. Niech X ma dowolny rozkład spełniający założenia twierdzenia 3.1.2. Wtedy z (3.1.2) mamy

Pr(|X — m\ > 3cj) sC

Jeżeli zaś X ~ N(w, a), (X spełnia również założenia twierdzenia 3.1.2), to z (2.4.10) wynika oszacowanie lepsze o rząd, to znaczy ponad dziesięciokrotnie lepsze.

Przykład. Niech X będzie liczbą sukcesów w 20 próbach, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p — 0.4. Oszacujmy z dołu prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów będzie zawarta między 4 i 12.

Ponieważ m — EX = 20 ■ 0.4 — 8 oraz er² — D²X = 20 • 0.4 • 0.6 — 4.8, to

>4)

m

5* 1 -Pr(|X-m| ^4) > 1

Pr(4 ^X ^ 12) — Pr(|X — m\ s$ 4) = 1 -Pr(|X

dla t = 4/\/4~8 we wzorze (3.1.2).

Nierówność

Bernsteina

Jeżeli X = X₍ + X₂ +----bX_rt, to X można oszacować dokładniej, w sposób

podobny do nierówności Czebyszewa, przy pomocy nierówności Bernsteina.

Twierdzenie 3.1.3.

Jeżeli X_t ,X₂,... ,X_rt są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, X- ^ K — const, EX, = 0, a² = D²X., X — X_t -f- X₂ -i-----(- X_n, to dla

każdego t > 0

Pr (|X| > tay/n) ^ 2exp

i¹ ! Kt \

2 V ⁺ 3a^i)

(3.1.3)