089

89

6.2. Testy nieparametryczne

Na poziomie istotności (X = 0.05 zweryfikować hipotezę, ze obserwowana zmienna losowa ma rozkład normalny N(m, cr).

Rozwiązanie.

W tym zagadnieniu występują dwa nieznane parametry m i <7, które trzeba oszacować metodą największej wiarogodności. Wiadomo, że takim oszacowaniem m jest statystyka X, oszacowaniem cr² jest statystyka S².

Długość przedziału wynosi 0.6. Przyjmiemy, że pierwszy przedział wartości ma postać (3.0,3.6), a ostatni (6.6,7.2). Wobec tego

43

730

x- (3.6-0.3) — + (3.6+ 0.3)    + (4.2+ 0.3) — + (4.8+ 0.3)

22    15    5

+ (5.4 + 0.3) — + (6.0 + 0.3) — + (6.6 + 0.3)    =5.15

Podobnie obliczamy 7 = sfs² = 0.76. Następnie łączymy klasy liczące za mało wyników, aby uzyskać przedziały o liczności co najmniej ośmiu elementów. W tym celu łączymy dwa pierwsze i dwa ostatnie przedziały. W ten sposób otrzymujemy ciąg przedziałów postaci Ij = (aj,bj): /, = (-°°,4.2),/₂ = (4.2,4.8), /₃ = (4.8,5.4), 1_Ą = (5.4,6.0), /₅ = (6.0, oo). Następnie obliczamy prawdopodobieństwa pj = Pr (A^- e I fi = Pr (W e (aj,bj) = &(b*j)-<t>{a*j), gdzie a) = (aj-x)/s, b* = (bj-x)/s oraz j= 1,2,3,4,5. Stąd otrzymujemy pj dla liczebności n_j w przedziałach Iy.

i	^ni	Pj
i	10	0.1056
2	35	0.2172
3	43	0.3065
4	22	0.2393
5	20	0.1314

ponieważ

p_x = Pr(X < 4.2) = Pr

X x < ⁴'²_⁵;¹⁵ ) =$( — 1.25) = 0.1056,

0.76

/4 2-5 15 X-

P2 ~ Pr (4-2 ^ X < 4.8) = Pr (    _{0 76}

= <I>(—0.46) -<&(-!.25) = 0.2172

-x _ 4.8-5.15 ^{_ <}    0/76

i tak dalej. Zaobserwowana wartość statystyki x² wynosi

₂    +U(nj-nPjf

Xob,=1^-—--------

j= i

n_Pj

6.04819.

Ponieważ liczba klas jest równa 5, a liczba parametrów szacowanych jest równa 2, to statystyka %² ma rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody. Na poziomie