110

110

Przedział

ufności

7. Wektory losowe

Przedział ufności dla współczynnika korelacji podamy tylko przy szczególnych założeniach, a mianowicie, że rozkład łączny wektora (X,F) jest normalny lub zbliżony do normalnego oraz próba jest duża (n - kilkaset). Przedział ufności dany jest tu wzorem

Pr R

u

a

\~R²    1 -R²

—j=~ < p < R-fu_a—j=-

yjn    sjn

— 1 - a,

(7.3.10)

gdzie Pr(|f/| < u_a) = 1 - a dla U ~ N(0,1).

Testy dla współczynnika korelacji podamy dla dwóch przypadków. W obu przypadkach zakłada się, że rozkład jest normalny, natomiast próba nie musi być duża. W tych przypadkach estymator R występujący w statystykach służących do testowania hipotez oblicza się ze wzorów (7.3.8) lub (7.3.9).

Hipoteza p

0 W pierwszym przypadku będziemy testować hipotezę H₀: p ~ 0, która dla rozkładu normalnego jest równoważna hipotezie, że zmienne X i Y są niezależne. Hipotezą alternatywną jest H_l : p 0. Statystyka służąca do tego celu jest następująca:

t =

y/\ — r²

\Jn — 2.

(7.3.11)

Statystyka ta, ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀, rozkład /-Studenta o n — 2 stopniach swobody. Obszar krytyczny jest dwustronny przy tak przyjętej hipotezie alternatywnej. Jeżeli przyjmiemy hipotezę alternatywną H_{:p > 0 lub H_x : p < 0, to obszar krytyczny będzie odpowiednio prawostronny lub lewostronny.

Hipoteza

P=Po

W drugim teście, hipotezą zerową jest H₀: p — p₀ przeciwko jednej z hipotez alternatywnych H_x : p ^ p₀,    : p > p₀ lub H_{ : p < p₀. Zgodnie z przyjętą

postacią hipotezy alternatywnej określamy obszar krytyczny, natomiast odpowiednia do tego statystyka jest określona następująco:

1 -f- R 1 -R

log

U= 1.1513 log

¹ +Po i-Po) 2(n-l)

Vn- 3,    (7.3.12)

gdzie log*jest logarytmem dziesiętnym z liczby*. Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka (7.3.12) ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1), przy n —»<*>.

Przykład. Wiadomo, że rozkład łączny wektora (X, Y) jest normalny. Dla 400 elementowej próby prostej obliczono r = 0.12. Na poziomie ufności 1 — a — 0.95 ze wzoru (7.3.10) obliczamy przedział ufności. Ponieważ u_a = 1.96 oraz 1 —r² — 1 — 0.12² = 0.9856, więc przedział ufności ma postać

20

20

₂_ ,.96.^,0.12 + 1.96.^'),

V    20    20 /’