13(1)

Twierdzenie o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną I

Jeżeli funkcja R(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniu postaci

z = f(x,y)_i (x,y) G D

zorientowanym dodatnio, to całka powierzchniowa zorientowana

JJ R(x,y,z)dxdy

istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem

JJ R(x, y, z)dxdy = JJ R(x, y, f(x, y))dxdy s    I)

gdzie D jest. rzutem płata regularnego S na płaszczyznę OXY.

Jeżeli funkcja P(x, y,z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniu postaci

x = g{y,z),    (y, z) e D,

zorientowanym dodatnio, tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX kąt, ostry, to

JJ P(x, y,z)dydz = JJ P(g(y,z),y,z)dydz

S    Oi

gdzie Di jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę OYZ.

Jeżeli funkcja Q(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S o równaniu postaci

V — h(x, z),    (x,z)€D‘2

zorientowanym dodatnio, tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim kierunkiem osi OY kąt ostry, to

JJ Q(x, y, z)dzdx = JJ Q(x, h(x, z), z)dxdz

s

O 2

gdzie D2 jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę OXZ.