2

10.IX.2007; NAZWISKO i IMIĘ: ...

4	0	1	1
-1	1	-1	-1
0	0	3	0
-4	0	-5	0

jest macierzą pewnego endomorfizmu / : R⁴ —» R⁴ w bazie kanonicznej. Podać macierz Jordana J i macierz przejścia P, taką że P~^lAP = J.

2. Niech A = (3,4,5). Na prostej

L : {x + y — z = 0, x — j/+ z = 0} wyznacz punkt B najbliższy do A. Na płaszczyźnie M : 2x + 3y — z — 1=0

wyznacz punkt C najbliższy do A. Oblicz pole trójkąta ABC oraz jednostkowy wektor normalny dla płaszczyzny rozpiętej przez punkty A,B,C (jeden z dwóch możliwych).

3. Dla macierzy A —

-2	0	0
0	to	6
0	6	<N

wyznacz macierz ortogonalną P, dla której macierz P~^lAP jest diagonalna. Na tej podstawie wprowadź układ współrzędnych, który pozwala na klasyfikację powierzchni

8z — 2x² +S\/2y + 2y² + 12yz + 2z² — 2 = 0. Nazwij i naszkicuj powierzchnię w nowym układzie współrzędnych.

4. Znaleźć w postaci algebraicznej pierwiastki z\ i z₂ równania (1 — i)z² + iz — 1 = 0. Następnie przedstawić w postaci algebraicznej i trygonometrycznej liczbę

ui= (z_l + z₂)¹⁰.

5. Wyznacz bazę przestrzeni wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej n o dodatkowej własności /(1) = 0.