2

2.    wstawiamy do pierwsz. równania *2, *31 wyznaczamy nuw^ wai iubc aj

3.    do drugiego równania wstawiamy nowe X| i stare x₃ i wyzna. Nową wart x₂

4.    do 3 równania w-stawiamy nowe wart. Xi, x₂ i wyznaczamy x₃

5.    Powtarzamy kroki 2, 3 i 4, aż do uzyskania rozwiązania.

Uwagi:

Proces jest zbieżny, gdy macierz współczynników jest symetryczna i dodatnio określona.

Met. Nadrelaksacji:

1.    zakładamy dowolne wart Xj, x₂, x₃

2.    Z 1 równania obi. poprawkę Axi, za now'ą wartość Xj przyjmujemy Xi=Xi+Axi*w gdzie w- wsp. nadrelaksacji

3.    Z drugiego rowu. wyzn. Ax₂ i przyjmujemy x₂=x₂+Ax₂*w

4.    Z 3 równania wyznaczamy x₃ i przyjmujemy x₃=x₃+Ax₃*w

5.    Powtarzamy kroki 2, 3 i 4, aż max( | Axj |, | Ax₂1, | Ax₃1 )< s Jeżeli w=l to met. przechodzi w met Gaussa-Seidla.

Uwaga:

Gdy macierz wsp. Jest symetryczna i dodatnio określona metoda nadrelaksacji jest zbieżna dla wsp. 0<W'<2. Zazwyczaj stosuje się l,2<w<l,5

Wadą metod iteracyjnych jest, że nie da się określić, która metoda jest lepsza i krótsza dla jakiego ukł.

Metody te są efektywne, gdy macierze są duże, ale wiele tych wsp. jest równych lub też gdy macierz wsp. jest rzadka tzn. występuje wiele wsp.=0

Ma niewątpliwie zalety w przypadku obliczeń ręcznych, bo nie jest wrażliwa na błędy w trakcie obliczeń. Popełnienie błędu rachunkowego przy obi. wart. powoduje jedynie zwiększenie liczby iteracji, a nie prowadzi do uzyskania błędnego rozw.

Unikamy zaokrągleń matematycznych związanych z przekształceniem układów równań.

Met. iteracyjne są szczególnie skuteczne w przypadku komputerów o małej pamięci(np. kalkulatorów).

Do innych met. iteracyjnych zaliczamy:    __________________________________________

•    met. gradientów sprzężonych- która bazuje na obliczeniach wart.wł.i wykonaniu przekształcenia ortogonalnego.

•    met. Aitkina- specjalny algorytm, który zapewnia poprawę zbieżności iteracji.

Postacie problemu własnego:

1 .Postać standardowa [A]{x}=X{x}

«A]-X[I]){x}={0}

2.Postać ogólna (rozszerzona)

([K]-co²[M]){x}={0}

X= co²

([M]-^l[K]-©²[I]){x}={0}

Jeżeli obie mac. [M] i [K] są nieosobliwe. To wybieramy ta, którą łatwiej się rozłożyć na mac.trójkątną. Zazwyczaj jest to mac[M]

Twl.

Dowolna macierz kwadratowa [A] stopnia n ma dokładnie n rzeczywistych bądź zespolonych wartości własnych. Tw2,

Macierz [A] ma wtedy i tylko wtedy wartość własną >=0, gdy jest macierzą osobliwą.

Def.

Niezerowy wektor {x}^ł spełniający związek [A]{x} ^l= X_i{x}¹, gdzie X,- jest wartością własną macierzy [A] nazywamy wektorem własnym macierzy [A] odpowiadając}™ wart. wł. X*. Każdy wektor własny jest określony z dokładnością do stałej k, gdzie k jest dowolną liczbą różną od 0.

Zazwyczaj liczbę k dobiera się w sposób szczególny, a mianowicie tak, aby:

•    suma kwadratów składowych wektora (x}^! była równa jedności

•    pierwsza składowa wektora {x}‘ była równa 1

•    największa składowa wektora {x}¹ była równa 1

•    suma modułów^ składowych wektora {x}‘ była równa 1

Wektor spełniający jeden z ty'ch warunków' nazywamy wektorem wdasnym znormalizowanym albo unormowanym.