1.    Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ ego (dowód i komentarz)

2.    Wzory Moivre’a i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Obliczyć (l-i)2D.

3.    Omówić powierzchnie prostokreślne.

1.    Twierdzenie Rolle’ a (z dowodem).

2.    Własność Darboux i twierdzenie Darboux. Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji ciągłych.


3.    Definicja całek niewłaściwych. Obliczyć:

iii


■i^-&?SKsssf

1. Zbadać zbieżność:


dx

n"-5n i1 (x + 1)2Vx2 +2x + 5

2.    Wyznaczyć asymptoty, określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema funkcji f, jeżeli f(x)=(x2+4x+2)e2x.

3.    Napisać wzór Taylora z n-tą resztą dla funkcji f(x) =ln(x+4), x0=3. Uzasadnić, że funkcję f można rozwinąć w szereg Taylora o środku w punkcie x0=3 w przedziale (-4,10). Podać ten szereg.

4. Obliczyć całki: a) Jx2 Sin(ln x)ĆX , b) J


X2+1


-1 ylx2 +2x + 3


dx.


^ ...... ..3

1.    Sformułować i udowodnić kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów.

2.    Definicja funkcji wypukłej ku górze i ku dołowi. Związek wypukłości funkcji z jej drugą pochodną. Zbadać wypukłość funkcji: f(x) = x2ex.

3.    Sformułować twierdzenie o całowaniu przez części. Obliczyć całkę: jx2 sin2x<źc.

1. Obliczyć granice: a) lim


/■    \4n‘+n+l

^2n2 +3^


b) lim (lnxf .


v2n‘ + 5^

2. Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia funkcji f, jeżeli f(x) = xln“x.

5n(n!)2    _ 7 dx


3. Zbadać zbieżność: a) V———, b) f

^ (2n)!    J


1. Obliczyć całki: a) f X +^=dx ; b) J—

J V4x - x2    ^


i x(x + l) dx


+ cosx