Egz

1.    Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ ego (dowód i komentarz)

2.    Wzory Moivre’a i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Obliczyć (l-i)^2D.

3.    Omówić powierzchnie prostokreślne.

1.    Twierdzenie Rolle’ a (z dowodem).

2.    Własność Darboux i twierdzenie Darboux. Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji ciągłych.

3.    Definicja całek niewłaściwych. Obliczyć:

iii

■i^-&?SKsssf

1. Zbadać zbieżność:

dx

n"-5ⁿ i¹ (x + 1)²Vx² +2x + 5

2.    Wyznaczyć asymptoty, określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema funkcji f, jeżeli f(x)=(x²+4x+2)e^2x.

3.    Napisać wzór Taylora z n-tą resztą dla funkcji f(x) =ln(x+4), x₀=3. Uzasadnić, że funkcję f można rozwinąć w szereg Taylora o środku w punkcie x₀=3 w przedziale (-4,10). Podać ten szereg.

4. Obliczyć całki: a) Jx² Sin(ln x)ĆX , b) J

X²+1

-1 ylx² +2x + 3

dx.

^ ...... ..³

1.    Sformułować i udowodnić kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów.

2.    Definicja funkcji wypukłej ku górze i ku dołowi. Związek wypukłości funkcji z jej drugą pochodną. Zbadać wypukłość funkcji: f(x) = x²e^x.

3.    Sformułować twierdzenie o całowaniu przez części. Obliczyć całkę: jx² sin2x<źc.

1. Obliczyć granice: a) lim

/■    \4n‘+n+l

^2n² +3^

b) lim (lnxf .

_v2n‘ + 5^

2. Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia funkcji f, jeżeli f(x) = xln“x.

5ⁿ(n!)²    _ 7 dx

3. Zbadać zbieżność: a) V———, b) f

^ (2n)!    ^J

1. Obliczyć całki: a) f ^{X +}^=dx ; b) J—

^J V4x - x²    ^

i x(x + l) dx

+ cosx