KIF33

189. Zależności podane w zadaniu 187 wskazują, te zbiór ilorazowy danego zbioru ze względu na pewną relację równościową jest podziałem tego zbioru (punkt (a) bowiem stwierdza, że każda klasa abstrakcji jest niepusta i każdy element danego zbioru do jakiejś klasy abstrakcji należy, punkt (c) zaś - żc każde dwie różne klasy abstrakcji są rozłączne). Podział ten nazywamy podziałem dokonywanym przez ową relację.

Wskaż podział zbioru:

{W. Shakcspearc. F. Bacon, A. Mickiewicz, A. Puszkin. J. Tuwim}

dokonywany przez ograniczoną do tego zbioru relację:

(a)    bycia współczesnym,

(b)    posiadania tej samej narodowości.

190.    Niech A będzie zbiorem czteroełemcntowym:

{a,. o,, a₃. a,}.

Wskaż podział zbioru A dokonywany przez relację:

(a)    <f,>, <c*. o*>, <flj, a₃>, <o«. a₄), (a_lt o*), (a_v a,), <a_s. a₄), <a₄, a₃>}

(b)    **={<<*!, a,).    <Oj, <h>, <a₄, a«>, <a_v a₄), <«7₄, o,),

<«!• <h>> <0», <*i>, <o₄, o₃>, <03, o₄»

191.    Jeśli j/ jest podziałem zbioru A, to relacja R. która zachodzi między elementami x, y zbioru A zawsze i tylko, | gdy x, y należą do tego samego elementu j/, jest równością w zbiorze A, przy czym rodzina klas abstrakcji relacji R w A jest identyczna z s4. Tak więc, każdy podział danego zbioru dokonywany jest przez pewną określoną równość, zachodzącą między elementami tego zbioru.

Niech A będzie zbiorem czteroełemcntowym:

{fl_łt o., o,, a₄).

Wskaż relację równościową, która dokonuje następującego podziału zbioru A :

(a)    .</, *= {{oi. a₃)< {<h> o₄}}

(b)    s*. = {{«,}. {a₂, a_a), {a_Ą}}

(c)    j/_a «= {{0|}, {a,, a_s, a,}}

(d> s/, ® {{«,}. {«₂}, {<h}, {a_t})

192.    Relacją porządkującą dany zbiór (porządkiem w tym zbiorze) nazywamy każdą relacje, która jest w tym zbiorze asymetryczna, przechodnia i spójna zarazem. Na przykład, relacja mniejszości jest porządkiem w zbiorze liczb rzeczywistych, a relacja starszeństwa — w każdym zbiorze lud2i, wśród których nie ma rówieśników.

Wymień warunki, które musi spełniać zbiór ludzi porządkowany przez:

(a)    relację zwierzchnictwa,

(b)    relację bycia przodkiem.

193.    Która z podanych niżej relacji porządkuje zbiór: {Arystoteles. Euklides, Ptolemeusz).

(a)    R,-KArystoteles. Euklides), <Euklides. Ptolemeusz),

<Ptolemcusz, Arystoteles)}.

(b)    R, = {<Arystoteles, Euklides), <Arystotełes, Ptolemeusz),

(Euklides. Ptolemeusz)}.

(c)    R.={(Ptolemeusz, Arystoteles), (Euklides, Arystoteles),

(Ptolemeusz, Euklides)}.

(d)    Rą — {(Arystoteles, Ptolemeusz), (Euklides, Ptolemeusz),

(Ptolemeusz, Ptolemeusz)}.

194.    Relacja R porządkująca zbiór A ustala pewną kolejność elementów tego zbioru - taką, iż dla dowolnych elementów x, y zbioru A x jest w tej kolejności przed y zawsze i tylko wtedy, gdy (a-, y> e R.

(a)    Wskaż, kolejność elementów zbioru podanego w zadaniu 193, ustalaną przez te spośród relacji Rj-R*. które ten zbiór porządkują.

(b)    Podaj relację porządkującą, która ustala następującą

121