mat08

Widzimy więc, że dla dowolnej liczby e > 0 istnieje taka liczba ó, > 0 (/>,    ^), że

dla dowolnegoxjeśli tylko O < |x-0| < Ą, to |a*- 1 | < e. Oznacza to, że lim a* = 1.

1 (z udowodnionej już

₁    AV    *-*°

Niech teraz oe (0,1). Wtedy - > 1, a więc lim

a    x—>o

części twierdzenia). Na mocy definicji Heinego oznacza to, że jeżeli (x_n) jest

fiY"

dowolnym ciągiem, którego wyrazy x_n * 0 i lim x_n - 0, to lim -    = 1. Wobec

n-*»    x-»0 (o,

tego korzystając z odpowiednich twierdzeń (jakich?) o granicach ciągów, obliczamy:

lim a " = lim

n—»oo    n—>qo

= urn

n—tao

?-|V”

T

vay

1

1

		Xn
lim
n—>oo|	a

1

Twierdzenie zostało udowodnione.

Obliczanie granic funkcji w punkcie

Przy obliczaniu granic będą nam pomocne pewne własności, analogiczne do własności granic ciągów. Bezpośrednio z własności granic ciągów (dzięki zastosowaniu definicji Heinego) wynika następujące twierdzenie.

^ Jeżeli funkcja / jest określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀ oraz

a)    funkcja / jest stała, tzn. f(x) = c dla x e S(x₀), to istnieje granica funkcji / w punkcie x₀ i lim f(x) = c,

X >X_Q

b)    f(x) = x dla x e S(x₀), to istnieje granica funkcji / w punkcie x₀ i

lim f(x)= x₀.

x~>x₀

Dowód.

Udowodnimy część a) twierdzenia. Niech (x_n) będzie dowolnym ciągiem, którego wyrazy x_n e S(x₀) oraz lim x_n = x₀. Wtedy /(x_n) = c, więc ciąg |/(x_n)| jest stały, zatem lim f{x_n) = c. Wobec dowolności ciągu (x_n) oznacza to, że

n-> oo

lim f(x) = c, co kończy dowód tej części twierdzenia. Dowód części b) jest

X->X₀

podobny.

Możemy sformułować jeszcze jedno twierdzenie.

IWIIRDZENIE 3,

lt /fil Istnieją granice lim /(x) i lim g(x), oraz c jest dowolną liczbą r/ec żywi

X >X₀    X“♦X,,

.ig, In Mnleją granice: lim [c ■ /(x)], lim [/(x) + g(x)j, lim [/(x)    g(x)|,

X >X_f,    X >X„    X"

9$

|iiaw(l/lwe są równości:

lim |/(x) • g(x)j, lim

(przy dodatkowym założeniu, że lim g(x) * O) ora/

X >X₀

a) lim |( • / (x)] = c • lim /(x),

* >1,,    X—>Xo

||) lim |/(x) + g(x)j = lim /(x) + lim g(x),

* M„    X~>X₀    X—>X₀

.) lim |/(x)    g(x)] = lim /(x) - lim g(x),

t M_n    X—>x₀    X—>x₀

'0 Jim I./(*) -9(x) 1 =]im /W - lim g(x),

1 M₍,    X~*X₀    X—>X₀

I 'i iwy/sze twierdzenie jest bezpośrednią konsekwencją odpowiednich twier < I. i dla granic ciągów i zastosowania definicji Heinego.

/ Iwierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy bezpośrednio

TWIERDZENIE 4. (o trzech funkcjach)

leżeli funkcje /, g i h są określone w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀ i dla dowolnego x e S(x₀) spełniona jest nierówność /(x) < g(x) < h(x), istnieją granice funkcji / i h w punkcie x₀ oraz lim f(x) = lim h(x) = a, to istnie-

je granica funkcji g w punkcie x₀ i lim g(x) = a.

X W₀

Wymienione wyżej twierdzenia znajdują zastosowanie przy obliczaniu granic lunkcji.

PRZYWAR 3.

Obliczmy lim ——

⁷ x-»1 x + 4

Zauważmy najpierw, że lim x = 1

X—>1

lim (-3x) = -3 ■ 1 = -3 lim x² = lim (x-x) = 1 • 1 = 1

X->1    X—11

lim (x + 4) = 1 +4 = 5

X->1

lim 7 = 7

X—>1

(twierdzenie 2.b), skąd (twierdzenie 3.a),

(twierdzenie 3.d);

(twierdzenie 3.b i twierdzenie 2.b); (twierdzenie 2.a).