138 Ctęii H. Rozwiązania i odpowlcdri
więc
X = X(ol — gzm<pcoz<p, Y= yco2,
Z — g(sw2(p — 1).
Podstawiając składowe jednostkowej siły masowej do równania różniczkowego powierzchni jednakowego ciśnienia o postaci
*dx+ydy + Zdr -0,
otrzymujemy
(co2x — gsiaęcosę)dx + co2ydy + g(sin2(p — l)dz = 0, a po scałkowaniu:
o)2— --gxcos(psintp — gzcos2g> = C
lub
—(x2 + y2) — |xsin2ę> — gzcos2q> = C.
Otrzymane wyrażenie jest równaniem rodziny paraboloid obrotowych, do których należy rozpatrywana powierzchnia swobodna cieczy w naczyniu.
2.2.7. Równanie różniczkowe powierzchni swobodnej, we współrzędnych cylindrycznych ma następującą postać:
q,dr + qtrd9 + qtdz = 0. (1)
Ponieważ składowe jednostkowej siły masowej wynoszą: q, ~ (02r, qt = 0, q,= -g,
zatem
(2)
fl)2rdr—gdz = 0.
Po scałkowaniu otrzymamy równanie powierzchni swobodnej
(3)
r2©2 Z" 2g ■
Zgodnie z warunkami zadania, powierzchnia ekwipotencjalna powinna przechodzić przez punkty A i B, których współrzędne odpowiednio wynoszą (rys. II-2.9): (R. z,)
oraz (R + a, z, -t-a). W związku z tyra (zgodnie z równaniem (3), muszą następujące zależności:
RW
ł$ + a)łcu2
Po odjęciu stronami równań (4)
(R + a)2-R? , a ----ar,
skąd po przekształceniu szukana prędkość kątowa wynosi:
2.2.8. Z równania powierzchni swobodnej
wyznaczamy