sciagi folia

A¹ V¹ ''lO ’ 10

P(B2)^a

100

lotl

_ł00.₂łc .00

K UUM

P(A)-

⁸ ~ 21*6! 4!

WlUÓtJF

Zadanie

Talia ma 4 króle i 4 asy. Losujemy dwie karty bez zwracania, wyznaczyć prawdopodob Żc wybrano dwa asy jeśli wiadomo że

a)    wybrano co najmniej 1 asa - BI

b)    wybrano asa czerwonego B2

c)    wybrano asa trefl (konkretnego) - B3

⁸ 2!*« 2 A- wylosowanie dwóch asów

a)    BI as. as / as, krói

7    41

cf =——-2*3 = 6 ⁴ 2*2!

Ł'(*Cj=l6

8BI-22

P(B I )= ——

28

b)    B2 as cm. as czer2 / as czcrl. jedna z 6 kart / as czer2. jedna z 6 kart

#B2=I3

P(B2) - —    *

' 28

c)    B3 as trefl, jedna z 7 kart 4B3-7

P(B3) ■ —

28

UIM9A ~OSOdV

Zadanie

Windą jedzie 7 osób, jest 10 pięter, jakie jest prawdopod ze wysiądą na różnych piętrach. Np. (3,3,1,10,2,8,9)-piętra(10) n - zbiór 7 clenKntowy ciągu o wyrazach ze zbioru 10 elementowym

#n=io⁷

# R = 10*9*8*7*6*5*4

10*»*8*7*«*5*4 P(R)= -=-■

Zadanie

Osiem różnych książek układanych losowo obok siebie, określ prawdopod ze dwie wybrane książki (np. I i 2) stoją przy' sobie.

Jest polka z książkami (jest 7 możliwości)

#0-P, = 8'

0,2................)«6!

(2,1........... ) = 6«

7*2*6*    7*2*6! 7*2 l

8!    6!*7*8 " 7*8 " 4

KUCKI

Zadanie

10 kul białych i 20 czerwonych, losujemy bez zwracania trzy kule. Jakie jest prawdopod. że trzy kule są białe?

Ai - i ta kula wylosowana biała

P(AI )= — , P(A2 | A1 )£—

30    ‘    ' *29

P(A3 | Al n A2) - —

28

10 O S

P(AI n A2 0 A3)»    —

30 29 28

Zadanie

W zbiorze 100 monet jedna ma dwa orty, pozostałe są prawidłowe, wybieram losowo monetę, w wyniku 10 rzutów wypadł 10 razy orzeł, jakie było prawdopodob że moneta była z dwoma ortami.

B1 moneta praw dziwa B2 - moneta z dwoma ortami A - 10 razy wy padł orzeł P(B2 j A) B1UB2 = C1 P(A | B2) - I

P(A^|B,)«-L

1

100

99

P(BI)« —

100

w-

P(B2|A)*

p\A\Bto*r\n2)

r\A)

Zadanie

Losowanie z dwóch urn. w pierwszej umie jest U 1*30 białych kul. 20 czarnych, w drugiej urnie U2 Tbiałych i 3 czarnych, przedtem losujemy kulę a z wylosowanej urny losujemy kulę Oblicz prawdopodob Żc wyszła biała, bi - wyciągnięcie białej kuli z i-tej urny ci - wyciągnięcie czarnej kuli z i-tej urny B • wyciągnięcie białej kuli (bl.b2)

C • wyciągnięcie czarnej kuli (cl, c2)

Ul-|bl .cl)

(J2*(b2, c2)

0*łbl,b2,cl,c2) n=UIUU2 UIUU2-0

P(U!)-P(U2)- j P(B|UI)-^

P(BIU2)- ^

P(B) P|B|UI)*P(C'l)łP(B!U2)*P(U2)

3.1    7.1    3    7    8    7    13

5 2    10 2    10    20    20    20    20

Zadanie

Losujemy rodzinę z dwójką dzieci, jakie jest prawdopodob Że rodzina ma dwójkę chłopców jeśli wiadomo żc

a)    starsze dziecko to chłopiec

b)    jest co najmniej jeden chłopiec

m= 2² =4

A - wyiosowanió rodziny z dwójką chłopców a)P(A|B)» y*y

#B-2

#(A n B) -1 b) P(A | C) ■ y* j # 03'

#(Anc)-1

łC«C»ti

Zadanie    't

W pudełku są 4 kule białe i 3 kule czerwone, wybieram bez zwracahia dwie kule, jakie jest prawdopod. że obie kule są białe K„UKc    ■' ! ’ *

Q * ((kl.k2) | kl\* k2*lk2 cKbUKc)

#0 - 7*6

Vj - wariancja ze zbioru 7 wyrazowych #A-4*3

r?

4-3    2

7*6    7

Q - dwucicmentowe podzbiory- K„ U Kc A- dwuelemeniowc podzbiory K_B

•

#AI 4*3

*A2 * 3*4

P(A) = l\AI)+-P(A2)-l\Ał O A2) * 4*3    3*4    4_

7*6 ⁺ 7*6 ” 7

Zadanie

W misce jest 15 śliwek w tym 10 dobrych, wybieram trzy śliwki, jakie jest prawdopodob żc wszystkie są dobre

\0{i

.3

lii-". 0,263 ,3    91

Zadanie    _p

W tali są 4 krule ^łUr4 asy. losujemy bez zwracania 2 kartę: \\y«naczyć prawdopodob Ze wylosowano 2 asy pod warunkiem ze wiadomo ze wybrano co najmniej I asa A -dwa asy

BI -co najmniej jednego asa P(A | BI)

v-- ----2*3 = 6

⁴ 2! *2! .

#BI-16

WD-f

p(AriBi)-

P(A | B)- — = —

22 II

X	0	100	500
p	89 100	99 100	100 I0C

F(t) ■ 0, t <0 89

-0<t< 100

100

— 100 <1 < 500 100

100

- t > 500

100

,3*2*6*3

0,08893

P( A B2)

0.2= -

KUkt

Zadanie

Jest 30 kul: 10 czer, 5 nieb. 15 białych, jakie jest prawdopod. żc wylosujemy różną kulę od białej

A - zdarzenie losowe żc kula nic jest biała P(A) = P(B U C) = P(B)+P(C)-P(B D C)

A=B U C

B fi C ■ 0 zdarzenia się wykluczają

#n «30

m = s

#C = 10

P(A). -U!i„jł.i 30    30    30    2

Zdarzenie przeciwne A’

P(A’) = — = 1 30    2

P(A)=I-P(A-)

P(A)-I- — = —

2 2

LOT€*t A • Co%U

Zadanie

Loteria - jest 100 losów, wygrywa I x 500 zł i 10 losów x i 00 zi, określić rozkład prawdopodob. i dysuybuantę wygranej gdy

jO/Sa 11 / > a

{men

Zadanie

W magazynie są śruby od producenta z Kielc I Lublina. Wiadomo Ze 10% śrub z Kielc jest wadliwych, wiadomo że 5% śrub z Lublina jest wadliwych. 70% śrub pochodzi z Lublina Jakie jest prawdopod. Ze wylosowana śruba jest wadliwa

W-wyłosowanie wadliwych śrub K- wylosowanie śruby z Kielc L- wylosowanie śruby z Lublina P(W | K)**O.IO l*(W | L)=0,05 P(L)-0.7    . v»

P(KH),3    V ‘

0=K U L K n L*0

PIWHIW I K)*l‘(K)-ł P(W I L)*P(L) w-(W r\ K) u (W n L)

(w n k> n (W n l>=o p(W)-i»(w n K)+P(W n L)

PfW O K)=P(W { K)*P(K)

P(W n L)=P(W I L)*P(L)

P(W)=0.1 *0.3+0,05*0,7-0.03 *0.035-0.065

Zadanie

Losujemy I kartę z tali gdzie jest 52 karty

»>

A-karta AS (4 asy)

B- wyiosowanic czerwonej karty (26 kart * A i B NZL

±.i.±

52    2 52

b)

A-wyiosowanic PIKA (13 kart pików)

B- czerwony AS (dwa czerwone asy)

-7- + — * — nie są NZL

52    52 52

Zad t

Na san są 3 rzędy po 8 krzeseł 24 osoby, wśród których są trzy kobiety, zajmują miejsca Zakładając schemat klasyczny, oblicz prawdopodobieństwo. ze kobiety siedzą koło siebie w jednym z rzędów #0=24-31*21**6*3

108

12144

Zad. 7.

W torebce byty 3 cukierki wiśniowe 1 7 pomarańczowych Wybieramy po koict (bez zwracania 1 «osowo dwa cukierki Drugi był wiśniowy Policz prawdopodobieństwo, ze pierwszy tez był wiśniowy (P.W). (W,W)

7*3    3*2

#ft~21+6-27 #A=6

e-i-ł

27 9

Zad 8.

W pudelku sa /apainksłki 40% z Kielc, reszta z Lublina Prawdopodóbieiistwc. ze rąpaumc/ica z Kielc jest wadliwa wynosi O.OS. a prawdopodobieństwo, ze zapalniczka z Lublina jest wadliwa wynos. 0.2. Wylosowana zapaiinczka okazak. sic wadliwa iic wynosi prawdopodobieństwo. ze wyprodukowano w Lublinie⁰

B l-zapalniczka z Kielc P(Bl»-0.4 B2-zapalniczka z I.ubłina P(Bił'0.6 A-wadlnva zapainiczka l*(A ¹ BI) 0.08 IV A B2)=0.2

t\8 2)

P(A¹ r>:ri»(B2K/. 12 r(Afi B2;

0,6

PCA)=P(A i Bi )*P(Bl)+P(A | B21“P(B2)= =0 08*0.4 *-0,2’'0.6=0.152

Zad. I.

Prawdopodobieństwo zdobycia głównej nagrody w pierw szej loterii wynosi pl , a w drugie- — n2. 1-otenc są niezależne a* Oblicz prawdopodobieństwo Pa zdobycia giownej nagiouy w otmiwocn loicnacr.

Pa=pi*p2

Pat A Ul Pl Al P(Ił).(An R)

b) prawdopodobieństwo Pb. zdobycia giownej nagrody przynajmniej w jednej loterii I*p=PI+P2-P1 *P2

Zad 2.

Prawdopodobieństwo, że masz chore serce wynosi 0.1, żc masz chore płuca — 0,05, a prawdopodobieństwo tego, ze masz jednocześnie chore serce t płuca wynosi 0.0 i Ile wynosi wówczas prawdopodobieństwo, ze masz chore serce iub płuca?

0,05 TU, i -0,0 i 0.114

Zad 3.

Czy zdarzenia losowe „mam chore serce¹ oraz .mam chore płuca", o prawdopodobieństwach określonych » poprzednim zadaniu, są zdarzeniami

a)    wykluczającymi się.    - NIE

bi    niezależnymi, - ML

c)    zależnymi. - TAK

d)    niemożliwymi? -NIL

Zad. 4.

Wiadomo, ze P(A) - 0.4 i P(B) - 0.5 oraz. ze ?(A n B) = 0.3. lic wynosi P(A \ B)?

(A \ B) = A V (A n8)

P(A\B,=rtA. .VA - iV.

0,*h?.3=0, i_

Zad 5.

Wiadomo, ze zdarzenia BI i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń (tzn. BI n B2 = 0 i B1 u B2 = O), przy czym P(BI) “ 0.8 Niech A będzie zdarzeniem, o którym wiemy, żc P(A | BI) - 0,2. P(A | B2) = 0,4. Jakie jest wówczas prawdopodobieństwo I* (A) zdarzenia A?

P(B2)-0.2 P(A|BlH>_t2 P(A i B2)-0,4

P(A)*P(A | B1)*P(BI)+P(A I B2)*P(B2)=

- — - 0.8 + 0,4 * 0,2 - 0,16 + 0.08 = 0,24

Zadanie

Śruby z Lublina - 50%

Śruby z Kielc - 30%

Śruby z Mławy - 20%

P(wadliwa o ile jest z Lublina) ■ 0,05 P( wadliwa o ile jest z Kielc) - 0,1 P(wadliwa o ile jest z Mławy) - 0.08 Jakie jest prawdopod. Ze wylosowana śruba jest z Lublina jeśli była wadliwa

P(L)-i

2

KULUM=fi P(W|K)-0,l P(W | L)-0,05 PfW | M) -0.08

P(W)=o, 1*0,3+0,05 *0,5+,08*0,2=0,03+0,025 +0.016-0,071

PrŁiwy.^^rw.iigł.oig

/■(!»')    0,07!