Metoda analizy regresyjnej
....
•V.\r*T
*'*•' ~,vu£
Obliczenie stosunku korelacyjnego na podstawie wzoru definicyjnego (5.131) rł jest bardzo uciążliwe, ponieważ wymaga wyznaczenia wartości xn dla wszystkich '>'& obserwacji n ~ 1,2,N. Można -wykazać, że' w przypadku ogólnym, gdy funkcja
rogresji zgodnie ze wzorem (5.99) ma postać vj;y.
!-.v v ■ • - ’
*= x+6i[<Pi(«)HPil+ — +6kI>jcOO—wd (5.134)
przy czym
-.A1<pk = -jf £j9k^ k = 1 ’2’
■ <*' •’ • - 1
*v. • .
K -
1
Vh = ... +bKmxl!>K)
(5.135)
przy czyni
• . ......
(5.136)‘5®
; ■(;
Wprowadzimy wzór (5.135). Podstawiając wzór (5.111) do wzoru (5.131), otrzymujemy-wyrażenie o postaci
... • N N
N' <• • * •
'i „, V; N
. '^i'~xr^fo~*)&[<Pi(“<0-?i1+ ••• +^[^(«n)-^]} =
; < ti— 1 /!■= 1
(5.137)
. przy czym
N
■ jy" (*n .-f)[%(wfl) 9^*1 = 1,2, ...,
TC
<5.138)
Ponieważ x„ jest funkcją regresji, więc jest spełniony warunek
mm
Sr '= y (*„“Xn)2 =
Żl=I
Na podstawie tego warunku, uwzględniając wzór (5.134), otrzymujemy układ K równań, przyrównując pochodne cząstkowe, funkcji SR względem bk (k = = 1,2,..., K) do zera
(5.139)
, (-'Ti ATi) [TTcOO (pk\ 0 k 1,2, ..., K
Przekształcając (5.139), otrzymuje się wyrażenie.
N
.a następnie
n ! N
- czyli zgodnie ze wzorami (5.136) .i (5.138), otrzymujemy
n^xfk — x<?k ' =: ^
(5.140)
Podstawiając (5.140) do (5.137) otrzymujemy wzór (5.135), który należało wyprowadzić.
Zwrócimy jeszcze uwagę na pewną ważną zależność. Licznik we wzorze (5.129) na współczynnik korelacji Wielowymiarowej można przekształcić w następujący sposób:
N . N t ' '
««»1 . n-»l
(5.141)
= X &>~*)2+ X (Xn~Xn){xn-X) = X (*n-*)2
ponieważ, jak wykażemy w p. 5.9, zachodzi równość (5.172)
N ■
jeżeli x jest funkcją regresji. Podstawiając (5.141j do (5.129) i porównując z (5.131) otrzymujemy ważną zależność-' •
(5.142)
Stosunek korelacyjny jest równy uogólnionemu współczynnikowi korelacji.
" 5.8. Współczynnik korelacji wyznaczony z próby
Współczynnik korelacji wyznaczony z próby jest zmienną losową. .Aby móc badać istotność wartości współczynnika korelacji otrzymanego na podstawie próby, należy znać jego rozkład prawdopodobieństwa.