Metoda analizy regresyjnej


....


M|p-


•V.\r*T

*'*•' ~,vu£


Obliczenie stosunku korelacyjnego na podstawie wzoru definicyjnego (5.131) rł jest bardzo uciążliwe, ponieważ wymaga wyznaczenia wartości xn dla wszystkich '>'& obserwacji n ~ 1,2,N. Można -wykazać, że' w przypadku ogólnym, gdy funkcja

rogresji zgodnie ze wzorem (5.99) ma postać    vj;y.

!-.v v ■ •    -    ’

*= x+6i[<Pi(«)HPil+ — +6kI>jcOO—wd    (5.134)


przy czym


-.A1<pk = -jf £j9k^ k = 1 ’2’

■ <*' •’ • - 1

*v.    •    .


K -


■ . .

. stosunek korelacyjny można obliczyć z prostego wzoru


1


Vh =    ... +bKmxl!>K)


(5.135)


przy czyni


m.

IV    f

, {C*i.—S)Eę»*0O—va}.    fc = 1,2,K


• . ......

(5.136)‘5®


; ■(;

Wprowadzimy wzór (5.135). Podstawiając wzór (5.111) do wzoru (5.131), otrzymujemy-wyrażenie o postaci

i,    .. • ' . '

...    •    N    N

N' <• • * •

• fr !V • i'V- '    -

'i „, V;    N

. '^i'~xr^fo~*)&[<Pi(“<0-?i1+ ••• +^[^(«n)-^]} =

= ~rp~KT/^, (*»—^l>i('0-yi]+ ... +*47, 0Yn-^)[yx(«n)+yx]| =

;    < ti— 1    /!■= 1

(5.137)

. przy czym

N

■ jy" (*n    .-f)[%(wfl)    9^*1    = 1,2, ...,


TC


<5.138)


Ponieważ x„ jest funkcją regresji, więc jest spełniony warunek

mm


Sr '= y (*„“Xn)2 =

Żl=I

Na podstawie tego warunku, uwzględniając wzór (5.134), otrzymujemy układ K równań, przyrównując pochodne cząstkowe, funkcji SR względem bk (k = = 1,2,..., K) do zera

(5.139)


, (-'Ti ATi) [TTcOO (pk\ 0 k 1,2, ..., K

Przekształcając (5.139), otrzymuje się wyrażenie.

N

.a następnie

n    !    N

- czyli zgodnie ze wzorami (5.136) .i (5.138), otrzymujemy

n^xfk — x<?k '    =: ^


(5.140)

Podstawiając (5.140) do (5.137) otrzymujemy wzór (5.135), który należało wyprowadzić.

Zwrócimy jeszcze uwagę na pewną ważną zależność. Licznik we wzorze (5.129) na współczynnik korelacji Wielowymiarowej można przekształcić w następujący sposób:

N .    N    t    '    '


X =X [&-^)+(w—

««»1    .    n-»l

(5.141)


= X &>~*)2+ X (Xn~Xn){xn-X) = X (*n-*)2


ponieważ, jak wykażemy w p. 5.9, zachodzi równość (5.172)

N    ■

jeżeli x jest funkcją regresji. Podstawiając (5.141j do (5.129) i porównując z (5.131) otrzymujemy ważną zależność-'    •


(5.142)

Stosunek korelacyjny jest równy uogólnionemu współczynnikowi korelacji.

" 5.8. Współczynnik korelacji wyznaczony z próby

Współczynnik korelacji wyznaczony z próby jest zmienną losową. .Aby móc badać istotność wartości współczynnika korelacji otrzymanego na podstawie próby, należy znać jego rozkład prawdopodobieństwa.