str020

•łó

57.    Przypuśćmy, że istnieje miara zewnętrzna i/' taka, że p = i/"|91, gdzie 91 jest (7-ciałem zbiorów u'-mierzalnych. Z równości p = u' |91 wynika, że 931 = 91. Z monotoniczności miary zewnętrznej u’ wynika, że

^ ^ _ | card(A),    gdy .4 jest skończony,

•    \ co,    gdy .4 jest nieskończony.

Otrzymaliśmy więc, że v' jest miarą określoną na ir-ciele 91 = 2^A\ To daje nam sprzeczność z równością £Dl = 91.    ,

58.    Niech dla dowolnego A C X

	f °.		gdy A = 0,
	p*(A) = | 1,		gdy 0 ± A £ X gdy A = A’.
Wówczas	fo(A) = {	0, 2,	gdy A - 0, gdy A £ 0.
A zatem fi’ ^ ul-

59.    Wskazówka: patrz rozwiązanie zadania 55 (e).

60.    Wskazówka: korzystamy z zadania 55 (b) i (e).

61.    Odpowiedź: jeżeli card(A") = 1 w zadaniu 7, card(.Y) < 2 w zadaniu 8, to n‘ są metrycznymi miarami zewnętrznymi, bo /i* są miarami. W pozostałych przypadkach miary zewnętrzne nie są metryczne.

62.    Niech Ei, S₂ C X i p(Ei,E₂) > 0. Na podstawie założenia i zadania 45

/    istnieją takie zbiory mierzalne -4i, A₂, że Ai C E\, A₂ C Ei i p(Ai) = p.{Ei) oraz

p[An) = /z.(£₂). Oczywiście Ar fi A? = 0 i Aj. U A₂ C E\ U En.

H.(Ei U En) > p(Ai U A₂) = p(Ai) + p(An) = p.(Ei) + /i.(£₂)-Ponieważ /i* jest metryczna, więc

p'{E\ U En) = n'{Ei) + fi'(En),

„*(s_t u ą) =    ^uE'-⁾⁺2 ^p-^{( £l}

^ ,<*(J^)+H-(En) , P.(B») + li.(En)

² 2 2

Na podstawie zadania 48, u' jest miarą zewnętrzną, więc «/*(EiU£₂) < i/*(Ei) + «/*(£₂).

Zatem u’(E\ UF₂) = i/'(Ei) + i/’(E₂), a zatem v' jest metryczną miarą zewnętrzną.

63. Z definicji zbiorów A„ wynika, że A_n C A„+i dla dowolnego n g N. Niech U”_,A„ = Ao- Istnieje więc limn-co p'(-4„) i spełniona jest nierówność lim„_co p’(A_n) < p"(A₀). Wystarczy wykazać, że

li'{A₀) < lim p*(A„).

n — co

Zachodzą następujące równości:

CO    CO    co

Ao = A_2n U l^J Si- = Ain U Bu U

k—2n    kssn    kssn

przy czym B_n = A_n+i - A_n dla dowolnego n 6 N. Stąd otrzymujemy

fc=n

l- = n

Jeżeli

k=\

to

M*(Ao) < lim /i*(A_2n) = lim p’(A„).

Przypuśćmy teraz, że Y^kLi P‘{Bzk) = +oo. Z definicji zbiorów A„ wynika, że B₂t+i) > O dla k 6 N, gdzie p(B₂i,,5₂ł₊i) = inf{p(x,y) : x 6 B₂ł, y g 5₂ł+i}. Łatwo wykazać, że U"=i Bit C A₂ł dla n > 1. Korzystając z założenia, że /<* jest metryczna, otrzymujemy

■i-i

n-1

Ł = 1

Ł = l

Ponieważ    p*(B₂t) = +oo, więc lim_n_oo p’(A_n) = +oo. Stąd otrzymujemy, że

^'(Aę) < lim_n_co /i”(A„). Analogicznie dowodzimy tej nierówności w przypadku,

gdy

OO

53p*(B₂ł₊ij = +oo. ksl

64. Udowodnimy najpierw, że każdy zbiór domknięty jest mierzalny. Niech F oznacza zbiór domknięty, A dowolny podzbiór X. Wówczas A - F C X - F i X -F jest zbiorem otwartym. Na podstawie zadania 63 istnieje ciąg zbiorów {A_n},,gM taki, że p{A_n, F) > - dla n g PI i

lim p-(A„) = p*(A- F).