str19

Zgodnie ze wzorem (14.239)

Wynik wskazuje, że macierz D jest macierzą diagonalną mającą na głównej przekątnej wartości własne macierzy A równe wartościom własnym macierzy D. Zgodnie z równaniem (14.242]

Ostatecznie na

gA. _ p_e<»p- 1 _

1 r2e⁵' + c"' 3 [_ c⁵'—e

łodstawie wzoru (14.244)

2 i-j p- o ' f i r- i .i -iJLo cJi T|_-i

2e^5,-2<TH

c⁵‘ + 2c 'J

14.9.6. Zastosowanie metody zmiennych stanu

do obliczania stanu nieustalonego w gałęzi R, L, C przy zwarciu

Wróćmy raz jeszcze do przykładu, który rozwiązaliśmy już w p. 14.5.8 (rys. 14.18). W chwili (₀ = O łącznik przerzucamy z póz. 1 w póz. 2, w wyniku czego gałąź szeregowa R, L, C zostaje zwarta i jednocześnie odłączona od źródła. Stan początkowy w obwodzie jest niezerowy, tzn. u_c(0~) = U, i(O-) = 0.

Napiszemy dwa równania wiążące zmienne stanu w obwodzie. Zgodnie z podaną zasadą jako zmienne stanu wybieramy prąd w cewce, w rozpatrywanym przypadku jest to prąd rozładowania kondensatora oraz napięcie na kondensatorze. Równania wiążące te zmienne mają postać

. ,    _ du_c(£)

i(f) = C ^c

Ki<r) + L^- +u_c(t) = 0

df    ’ “ dt

Dokonujemy wyboru zmiennych stanu

*i(t) = »(t);    x₂(t) = u_c(f)

(14.245)

(14.246)

Równania (14.245) po uwzględnieniu (14.246) i odpowiednim przegrupowaniu wyrazów uzyskują żądaną postać znormalizowaną, a mianowicie

dx,(f) 1

= ęX,{‘)

-di---

(14.247) W zapisie macierzowym

df

*i(0
x2(£)

R_

~L

C

(14.248)

lub krótko

A =

x(() = Ax(t) 350

(14.249) gdzie

R

L

J_

C

l

L

0

Równanie (14.249) jest równaniem jednorodnym, gdyż u(i) = 0. Zatem jego rozwiązanie zgodnie z (14.210) ma postać

⁰ (14.250)

przy czym r₀ - O a wektor stanu początkowego x„ = Równanie charakterystyczne macierzy A

19