0118

120

IX. Całka oznaczona

W ostatniej całce dokonujemy zamiany zmiennych, wychodząc z zależności

sin 2u = cos² v\

jeśli u rośnie od 0 do -i-rc, to v maleje od -j-rc do 0. Różniczkując tę równość stronami, otrzymujemy

cos 2 u du = —sin v cos v dv;

a biorąc pod uwagę, że

cos 2u = ]/\— sin²2« = ]/1 —cos*v = sin v ^l+cos²r

oraz

1 +cos² v -= 1 + 2 sin u cos u — (sin ii+cos w)²,

znajdujemy wreszcie

(sin «+cos u) du = —cos v dv.

Teraz już łatwo jest otrzymać żądany wynik.

14) Na zakończenie powrócimy jeszcze do całki Poissona

TC

/(/■) — | ln(l —2r cos x+r²) d.\

[porównaj 307, 4>j. Wiemy już, że dla |r|# 1 funkcja podcałkowa jest ciągła i całka istnieje. Obliczymy tę całkę jeszcze raz za pomocą pewnego sztucznego chwytu, w którym istotną rolę gra zamiana zmiennej. Zauważmy przede wszystkim, że z oczywistych nierówności

(1 — |/j)² < 1 —2r cos jr+r² < (l + |r|)²,

poprzez logarytmowanie i całkowanie w przedziale od 0 do tc, otrzymujemy (przy |r| < 1)

2tr In (1 —|r|) < / (r) < 2n ln (1+ IH).

Na podstawie tego jest już jasne, że gdy r~*0, wówczas również / (r)-*0.

Rozpatrzmy tę całkę

TC

/(—/•)= f ln (l+2r cos x+r²) dx. o

Jeśli W'całce tej podstawimy x = 7t—/, przy tym I zmienia się od ~ do 0, to okaże się, że

a    re

/(—r) = J In (l + 2rcos(it — t)+r²) d(ic—t) = f ln (l—2r cos H-r²)    =/(r).

o    o

Wobec tego

J!

21 (r) = /(r)+/(-r) - J In [(I-2r cos x+r²) (H-2r cos *+r²)] dx ,

0

czyli

TC

21 (r) = J ln (1 —2r² cos 2jf+r*) dx.

O

Podstawiając x = ~ / (gdzie / zmienia się od 0 do 2tc), otrzymujemy

2 TC    TC    2 TC

2/(_r) = ±f ln(l-2r²cosH-r⁴)i// = +jf-

O    O    TC