012

Z\

Pri urćovanl podllu — komplexnlch ćlsel z_x, z₂ ^ 0 postupuje-

22

mc obvykle tak. że ziomek — rozślflme ćlslem z^:    — =    ;

22    22    22 Z₂

upravime-li soućin z\zi na tvar a + bi, pak vzhledem k tomu, że ćislo z₂22 je realne, dostavame hledany podli v algebraickem tvaru:

21 _ Z1Z2 _ a    b

22    Z₂Źi 2₂2i    Z2Ź2

Prlklad 3

Urćete podli Reśem

a)

3 + 4i 2 — 51

b)

2 + i ’

c)

1 -i

3 + 4i _ (3 + 4i)(2 + 5i)    -14 + 231    14    23.

³ 2 — 5i ~ (2 — 5i)(2 + 5i) ^_ 4 + 25 ^__29 ⁺ 29¹

b)

1

2 — i

___ 2 — i _ 2 _ 1 .

2 + i (2 + i)(2 — i) 4 + 1    5    5

Pojem prevraceneho ćlsla umożńuje zavest mocninu komplexnlho ćlsla s celym zapornym exponentem, a to stejnym zpusobem jako pro ćlsla realna:

n-tou mocninu, kdc n je cole zaporne ćislo, komplexnlho ćlsla
z/O definujeme takto: z^n — ćislo z 0 sc definuje: z° = 1	|	. Pro liboYolne komplexnl

Lze ukazat, że pravidla znania pro mocniny komplexnlch ćlsel s prirozenymi exponenty zustavajl v platnosti i pro cxponenty cele zaporne a exponent nulovy.

Pfiklad 4

Zduvodru:te spravnost nasledujicich vypoctu:

a)

¹¹ *•" ■ (nr.)' ■ loTiifei]' ■ Pr)' ■ T -

1 .

" ~2^l

—2i

b) (¹⁺¹)²-(i _{+ i}J fi_+i)2 ₂i    2i(—2i)    4    2¹

1

1

1

c)

(1+i)² 2i 2i(-2i)

/l+i\^_1_    1    1 -i ⁿ-^;'²

^ 1 — iy l + i 1+i

1-i    (1-i)²    _ -2i _

“    ^_(l+i)(l-i)    2    ¹

d)

1-i

t—L + 1 1	(1+i)^2 1
vi-i;	Lei - i)(i + oj

2 ) i

2i\^_1    1

V oboru komplexnich cisel lze tedy nejen sćitat, odćitat a naso-bit., ale i delit nenulovym ćislem. Uinime proto v tomto oboru vyreSit jakoukoli linearni rovnici s komplexnimi koeficienty.

Pfiklad 5

i    1

V mnozine C reste rovnici --— x + 2 i = x - ——r.

1 — 2i    2 + i

Reseni

Vynasobenim dane rovnice soućinem (1 — 2i)(2 + i) dostaneme i(2 + i)x + 2i(l - 2i)(2 + i) = (1 - 2i)(2 + i)a: - (1 - 2i), coź da po uprave

(—5 + 5i)x — —1 — 6i.

Odtud dostaneme

—7 — 6i x = ———

—5 + 5i

23