0160

162

X. Zastosowania rachunku całkowego

lub krzywej leżącej całkowicie wewnątrz figury P (rys. 15a i b). Udowodnimy, że mierzal-ność dwóch spośród trzech figur P, P₁ i P₂ pociąga za sobą ntierzalność trzeciej, przy czym

(1)    P = P₁+P₂,

tzn. że pole ma własność addytywności.

a)    b)

Rys. 15

Załóżmy na przykład, że figury Pi i P₂ mają pola. Rozpatrzmy wielokąty A_t, 5_t i A₂, B₂ wewnętrzne i zewnętrzne odpowiadające tym figurom. Wzajemnie niezachodzące na siebie wielokąty A_t i A₂ tworzą obszar wielokątny A, o polu \A\ = Mil + M₂|, całkowicie zawarty w obszarze P. Natomiast wielokąty B_l iB₂, być może zachodzące na siebie, tworzą obszar B o polu |S| < IB1I + IB2I. zawierający obszar P.

Mamy oczywiście

M1I + M2I = Ml <\B\ <15,1 + 1821 ;

ponieważ przy tym liczby |B,| i |P₂| mogą się różnić od liczb Mi| • M2I dowolnie mało, więc również dowolnie mało różni się |B| od Ml. a stąd wynika mierzalność obszaru P. Z drugiej strony, mamy jednocześnie

M1I + M2I = Ml <\P\<\B\^\B_t\ + \B₂\

oraz

M,l + M₂| <|P.| + |P2l <|Bil+|fl₂|,

zatem liczby |P| i |Pil + |P₂I zawarte są między tymi samymi liczbami Mi | + M2|i|*.l + I*₂l różniącymi się dowolnie mało, a więc są one równe, co należało udowodnić.

Zauważmy, że wynika stąd w szczególności nierówność |P,| < |P|, zatem część figury ma pole mniejsze niż cała figura.

336. Pole jako granica. Warunek mierzałności, sformułowany w poprzednim ustępie można wypowiedzieć inaczej:

l) Na to, żeby figura P była mierzalna, potrzeba i wystarcza, żeby istniały takie dwa ciągi wielokątów {A„} i {B_n} odpowiednio zawartych w P i zawierających P, że pola ich mają wspólną granicę

(2)    lim M-l = lim |B„| = |P| -

Ta granica jest oczywiście równa polu figury P.