§ 2. Pole i objętość

189

W krzywą ABwpiszemy łamaną AA_X ... A„__t B. Odpowiada jej łamana CC, ... C„_, D wpisana w krzywą CD. Trapezy A_t A_i+l C,+, C, tworzą powierzchnię wpisaną w rozpatrywaną powierzchnię walcową. Przez pole naszej powierzchni walcowej będziemy tu rozumieli granicę |P| pól j Q\ powierzchni utworzonej z trapezów, gdy najdłuższy z łuków A_t A_i+i dąży do zera.

Zachowując poprzednie oznaczenia i przyjmując z, = A, C, mamy

IGI

w—1

\ 1 Z| + Z< + 1

Z_j 2 <-o

h.

Za pomocą takich samych rozważań, jak Rys- 35

w ustępie 344 (czytelnik może sam w pełni je przeprowadzić), zadanie sprowadza się do wyznaczenia granicy sumy

II—1

Zi ,

w której łatwo poznajemy sumę całkową. Ostatecznie mamy

s s

\P\ = j z ds = I y> (s) ds (‘) . o b

Powracając do dowolnego parametru t łatwo otrzymujemy wzór ogólny

(25) |P| = Jz }/x_t²+y?dt = dt.

ło fo

Wreszcie w przypadku, kiedy krzywa AB ma równanie y = f(x) (a < x < b) wzór ten przyjmuje postać

(26)

\P\ = jz]/l + y’_x²dx

Z(x)}/1 + U'(x)ydx.

347. Przykłady. 1) Niech krzywa AB na rysunku 36 będzie lukiem paraboli o wierzchołku w punkcie B. Jej równanie (oznaczenia jak na rysunku) jest następujące:

bx¹

y = b—

Powierzchnię walcową zbudowaną na tej krzywej przecięto płaszczyzną o równaniu

- x.

Wynik ten staje się zupełnie poglądowy, jeśli wyobrazimy sobie, że powierzchnia walcowa została rozwinięta na płaszczyźnie. Rozpatrywana figura jest wtedy „trapezem krzywoliniowym”.