0017

19

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Analogiczne całki postaci

fg(x³) x²dx=±'jg(x²)d(x²)

mogą być obliczane przez zastosowanie podstawienia / = *³ itd. Tego typu jest właśnie trzecia całka.

(c) Odpowiedź: -j-tg*³-t-C.

2) J (ax¹+f})i‘ x dx (/i ^ — 1).

Rozwiązanie. Można przyjąć tu t = *², ale łatwiej jest od razu wziąć u = aut² + jJ, bowiem czynnik xdx różni się od du = 2xxdx tylko współczynnikiem liczbowym. Mamy więc

2a(/4-f 1)

f («*²+/!)"* dx =    f u-du =    ¹    ■ «"⁺¹ + C =    — (<xx²+ftf" + C.

J    2<x J    2of(/u+l)    2a(« + l)

3) (a) f^-dx, (b) f    (O f-

•’ x    -> x In x    J .

dx

*ln²*

Wskazówka. Wszystkie te całki mają postać

J g (ln x) —■ = J g (In ar) d ln x

i mogą być obliczone za pomocą podstawienia t = ln*.

Odpowiedź: (a) — ln²*+C, (b)lnln*+C, (c) — —-—(-C.

2    ln*

4) Całki postaci

dx

f g (sin *) cos xdx,    jg (cos *) sin xdx, Jg (tg *)

oblicza się odpowiednio za pomocą podstawień

t = sin *, u — cos *, v = tg * .

Na przykład

(a)

(b)

(c)

f cos * dx ₌ f    = arc tg r+ C = arc tg sin *+C,

•> ]+sin²*    •' 1 + /⁷

f tg .t dx= f^m-dx= f — = —ln |t/| + C = — ln |cos *1+ C, J    J cos*    j u

f_dx__ f dxjcos²x f dv

) A² sin²x+B² cos²* J A²tg²x+B² J A²v² + B²

tg ²x + B²

- -~arc tg -4r- 4- C = —j— arc tg tg *) + C. "    AB \ B /

AB    B

2x

5) (a) f    , b) f ctg * dx,    (c) I - ^e dx, (d) f —

J *²+l    J    J e^2,+ l    J si

dx

sin * cos *

Rozwiązanie, (a) Jeśli podstawimy t = *² + l, to licznik 2xdx daje dokładnie dt, całka sprowadza się do

J-y- = In |/| + C = ln(*² + l) + C.