Utwórzmy teraz całki iterowane

gdzie /{jest stałą dodatnią, której wartość określimy niżej.

Gdyby funkcja P²+Q² nigdy nie była równa zeru, to funkcja podcałkowa w tych całkach byłaby ciągła i zgodnie z twierdzeniem 4 musiałoby być I₂ = I₂. Pokażemy, że przy dostatecznie dużym R równość taka nie może być prawdziwa; będzie stąd wynikało, że w jakimś punkcie koła o promieniu R i środku w początku układu funkcja P²+Q² musi być równa zeru. Twierdzenie będzie tym samym udowodnio-

Obłiczając całkę wewnętrzną dla /, otrzymujemy

zu

bo pochodna -, jak widać od razu, jest funkcją zmiennej 6 o okresie 2tc. Wynika stąd, że /, = 0.

Br

Zajmijmy się teraz całką I₂. Mamy tu

r-«

r-0

Musimy teraz rozpatrzyć te wyrazy z licznika i mianownika ułamka przedstawiającego pochodną ZU/ ZO, w których występują najwyższe potęgi r.

Ponieważ

więc

ZP

ze

Q

-nr²ⁿ+ ...

Z drugiej strony, Ostatecznie otrzymujemy

ZU _ -nr²’+ ...

ze r²"-+ ...

Wyrazy nie napisane zawierają niższe potęgi r, przy których współczynnikami są ograniczone funkcje zmiennej 0. Wobec tego

i przy tym zbieżność jest jednostajna względem 0.

$ £/    &P

Dla r = 0 jest —= 0, bo w tym przypadku -rir =    = 0. Tym samym wewnętrzna całka

CU    OU    CU

BU

w I₂ jest równa wartości przy r — R. Ale, jeżeli R -*■ oo, to wartość ta dąży, jak wiemy, do —n i to ZO

jednostajnie względem 0. Na podstawie twierdzenia 1 jest zatem

lim 7, = —2nn .

K -»x

Dla dostatecznie dużych R całka I₂ jest więc ujemna i równość I₂ = I₂ nie może być prawdziwa.