0583
§ 1. Teoria elementarna
585
Utwórzmy teraz całki iterowane
Jt 2IX
O O
Z2 U Sr ze
de
h
O O
dr,
gdzie /{jest stałą dodatnią, której wartość określimy niżej.
Gdyby funkcja P2+Q2 nigdy nie była równa zeru, to funkcja podcałkowa w tych całkach byłaby ciągła i zgodnie z twierdzeniem 4 musiałoby być I2 = I2. Pokażemy, że przy dostatecznie dużym R równość taka nie może być prawdziwa; będzie stąd wynikało, że w jakimś punkcie koła o promieniu R i środku w początku układu funkcja P2+Q2 musi być równa zeru. Twierdzenie będzie tym samym udowodnio-
Obłiczając całkę wewnętrzną dla /, otrzymujemy
J
Z2 U
Zr ze
d0 =
zu
Zr
e-2K
9-0
zu
bo pochodna -, jak widać od razu, jest funkcją zmiennej 6 o okresie 2tc. Wynika stąd, że /, = 0.
Br
Zajmijmy się teraz całką I2. Mamy tu
/
r-«
r-0
Musimy teraz rozpatrzyć te wyrazy z licznika i mianownika ułamka przedstawiającego pochodną ZU/ ZO, w których występują najwyższe potęgi r.
Ponieważ
~W
nr’ cos n0+
więc
ZP
ze
Q
-nr2n+ ...
P1 + Q*=r 2"+ ..
Z drugiej strony, Ostatecznie otrzymujemy
ZU _ -nr2’+ ...
ze r2"-+ ...
Wyrazy nie napisane zawierają niższe potęgi r, przy których współczynnikami są ograniczone funkcje zmiennej 0. Wobec tego
lim
f-» CO
—n
i przy tym zbieżność jest jednostajna względem 0.
$ £/ &P
Dla r = 0 jest —= 0, bo w tym przypadku -rir = = 0. Tym samym wewnętrzna całka
CU OU CU
BU
w I2 jest równa wartości przy r — R. Ale, jeżeli R -*■ oo, to wartość ta dąży, jak wiemy, do —n i to ZO
jednostajnie względem 0. Na podstawie twierdzenia 1 jest zatem
lim 7, = —2nn .
K -»x
Dla dostatecznie dużych R całka I2 jest więc ujemna i równość I2 = I2 nie może być prawdziwa.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
573 § 1. Teoria elementarna Teraz także wyjdziemy z równości (15). Z twierdzenia 3 wynika, że pierws
§ 1. Teoria elementarna583 16) Pokażemy drugi sposób obliczenia całki/-/ a*. t
[13] Praca zbiorowa: Podstawy robotyki. Teoria i elementy manipulatorów i robotów.
65 (92) 9. Analiza harmoniczna 65 Teraz funkcja podcałkowa jest symetryczna, co oznacza, że wartość
107 7.2. Parametry rozkładów dwuwymiarowych Przechodząc na całki iterowane otrzymujemy + 2 I xdx j y
43 (409) Rozdział czwarty Oba elementy zostały połączone. Teraz odwróć model na drugą stronę. e
Geometria mas i z Rysunek 1.1. Bryła o dowolnym kształcie oraz elementarna masa do obliczania całki
ELEMENTY TRASY DROGOWEJ W PLANIE•długość łuku L: L = ASB = - R-a-Jt 180°styczna T: T = AW = BW = R l
150 2 298 XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe Rozwiązanie. Zakładamy, że jt>0. Przedstawia
Przykłady do zadania 3.2: Podane całki podwójne zamienić na całki iterowane i obliczyć. Narysować ob
• materialna - 4 elementy Natura utworzyła człowieka jako ukoronowanie bytów. BERNARD SILVESTRIS Z T
PODSTAWYROBOTYKI Teoria i elementy manipulatorów i robotów Wydawnictwa Naukowo-Techniczne Sprzedajem
ROZDZIAŁ XIVCAŁKI ZALEŻNE OD PARAMETRU § 1. Teoria elementarna 503. Sformułowanie
563 § 1. Teoria elementarna i 2) dla dowolnej liczby e > 0 można znaleźć taką liczbę 8 > 0 nie
więcej podobnych podstron