0608

610

XIV. Całki zależne od parametru

Twierdzenie 2. Niech funkcja f(x,y) będzie określona i ciągła jako funkcja dwu zmiennych dla wartości jc > a i y z przedziału <e, </>. Jeżeli całka

CO

(1)    /(>-)-/ f(x,y)dx

a

jest zbieżna jednostajnie względem y w przedziale <c, d), to jest ona funkcją ciągłą parametru w tym przedziale.

Twierdzenie to wynika z twierdzenia 1. Istotnie, jak widzieliśmy w ustępie 506, w przypadku gdy obszarem zmienności x jest skończony przedział {a, A), to funkcja f(x,y) przy y -* y₀ (y₀ jest dowolną wartością y) dąży jednostajnie względem x do funkcji granicznej f(x,y₀). Zatem na podstawie twierdzenia 1 można w całce (1) przejść do granicy pod znakiem całki

00 00

lim/OO = lim J f(x, y) dx - / f(x, y₀) dx = I(y₀).

y-ya    y-yo _a    a

Stąd wynika już dowodzone twierdzenie.

W ustępie 485 opisując metody, za pomocą których całkom rozbieżnym przypisujemy „uogólnione wartości", pozostawiliśmy otwarte zagadnienie regularności drugiej z tych metod. Za pomocą udowod-

00

nionego wyżej twierdzenia możemy teraz uzupełnić tę lukę. Jeżeli odka J f(x) dx jest zbieżna, to całka

o

00

J er^kxf(x) dx jest zbieżna jednostajnie względem parametru k dla k>0 (patrz uwaga na końcu ustępu 515)

0

1    wobec tego jest funkcją ciągłą parametru k dla k>0 przynajmniej wtedy, gdy funkcja f{x) jest ciągła Tym samym

oo    co

lim f e~^ix f{x) dx — f f(x) dx .

*-*+0 o    0

Całka zbieżna jest zatem równa swojej uogólnionej wartości, a to dowodzi regularności wspomnianej metody.

Uwaga. W przypadku gdy funkcja /(x, y) jest nieujemna, prawdziwe jest twierdzenie w pewnym sensie odwrotne do twierdzenia 2: z ciągłości całki (1) jako funkcji parametru wynika jej zbieżność jednostajna.

W przypadku tym bowiem funkcja ciągła zmiennej y

A

(3)    F(A,y)= f f(x,y)dx

a

rośnie wraz ze wzrostem A i wobec tego — zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Diniego 504, 4° — dąży do swej granicy (1) jednostajnie względem y.

Twierdzenie 3. Niech funkcja f{x, y) będzie określona i ciągła względem x dla x > a i y z przedziału <e, d> i niech ponadto ma dla tych wartości zmiennych pochodną f_y(x, y) ciągłą względem obu zmiennych. Załóżmy jeszcze, że całka (1) jest zbieżna dla wszystkich wartości y z <c, d} i całka

00

(11)

/ fy(x, y) dx