0663

665

§ 5. Całki Eulera

Otrzymujemy stąd znany nam już wzór Weterstrassa [por. 402, (16)], dający rozwinięcie l/r(a+l) w iloczyn nieskończony

00

00

(30)

i lo-rn    x

•t

13° Wróćmy do wzoru (29) przyjmując w nim a = 2. Ponieważ In Z¹ (2) = ln 1= 0, dostaniemy więc

(31)

Z_J\ V+1    V+1 )

V—0

Zauważmy teraz, że wynika stąd, iż

W ten sposób dochodzimy do znanej już nam definicji stałej Eulera [367, 10)]. Wreszcie, mnożąc (31) przez a — 1 i odejmując stronami od (29) wyrugujemy C

v-0 ^u    -¹

.. . r _a. i-2-... •(«-!) i

L a(a+l)...(a+n-2) J

lub, co na jedno wychodzi,

(chodzi,

ln r{a) - lim ln Tn^a —i_n’"    — rr^l •

.-.co L a(a + l) ...(a+n-1) J

Pozbywając się logarytmów dochodzimy znowu do wzoru (7) Eulera-Gaussa, który wyprowadziliśmy poprzednio w inny sposób.

538. Przykłady i uzupełnienia

1) Korzystając z tego, że

.-X V    «/

udowodnić, że (dla a>0)

W    *    /    \ *

r(fl)= f t-'e-'dt= lim J/-« (l-—) dl,

0    o

i wyprowadzić stąd wzór (7).

Wskazówka. Granicę całki z prawej strony można obliczyć podobnie jak w zadaniach 10) i 11) z ustępu 519. Za pomocą podstawienia r = t/n przekształcimy całkę

J r-« I1-—I dl = If f t—U-rydr = If-B(a,n+1)

O    ⁿ    o

i posłużymy się wzorem (3).