0078

ROZDZIAŁ IX

CAŁKA OZNACZONA

§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej

294. Inne podejkie do atoh o polu. Powróćmy do zadania obliczenia pola P trapezu krzywoliniowego ABCD (rys. 4). Zadaniem tym ząjmowaliśmy się już w 264. Omówimy teraz inne podejście do rozwiązania tego zadania (*).

Podzielmy podstawę AB naszej figury w dowolny sposób na mniejsze odcinki i poprowadźmy przez punkty podziału odcinki pionowe; w ten sposób trapez krzywoliniowy rozcinamy na pewną ilość pasków (patrz rysunek 4).

Każdy taki pasek zastąpimy teraz w przybliżeniu pewnym prostokątem o tej samej podstawie, co dany pasek, i o wysokości równej jednej z rzędnych wykresu w pasku, na przykład skrajnej z lewej strony. W ten sposób figurę krzywoliniową zastąpimy pewną figurą schodkową, składającą się z poszczególnych prostokątów.

Niech liczby

(1)    x₀ «■ a < x_Ł < x₂ < ... < x, < X|+j < ... < x, = b

oznaczają odcięte punktów podziału. Podstawa /-tego prostokąta (i = 0. 1, 2,..., n-1) ma długość równą różnicy x_t+_t—x„ którą będziemy oznaczali symbolem Ax,. Jeśli chodzi o wysokość tego prostokąta, to z tego co powiedzieliśmy widać, że jest ona równa y, = = f(x,). Zatem pole i-tego prostokąta będzie równe y,Ax, ■= f(x,)Ax_t.

Sumując pola wszystkich prostokątów otrzymamy w przybliżeniu pole P trapezu krzywoliniowego

a-l    »-I

P « ^ y, Ax, lub P « ^Tj/(X|)    •

W    H)

(^l) Uogólnimy przy tym ideę, która raz już zastosowaliśmy do szczególnego przykładu [32,4].