1954 Geometria 302

Priklad 1. Nech ma podstava kvadra rozmery a, b a vy.ska kvadra yelkost c. Objem kvadra sa rovna abc, co możno pisat ako sućin ab. c.; tym sme vsak vetu 1 pre kvader dokazali, prętoże sucin ab rovna sa obsahu podstavy.

Priklad 2. Koimy trojbo-

doplnim® na kvader ABGDA'B'C'D' tym, że bocnon hranou AA' hranola vedieme rovinu cc rovnobeżnu so stenou BOB'C^r, hranou CC' rovinu /? rovnobeżnu so stenou ABA'B’. Roviny «, fi, roviny podstav daneho hranola a rovina steny ACA'C' urcuju trojboky hranol ACD A’C'D', który dopina dany hranol na kvader. Oba trojboke hranoly su zhodne, maju teda podia vlastnosti [2] rovnake objemy; podia ylastnosti [3] objem każdeho z nich sa rovna polovici objemu kvadra

ABCD A’B'C'D' a rovna sa teda 1 AB.BC.AA'. Ale -i AB.RCuda-

Z    z

va obsah,podstavy hranola ABC A'B'C' a AA' je veIkos£ jeho vyśky.

Priklad 3. Majme koimy trojboky hranol ABC (obr. 58).Vżdyexistuje taka rovina, która prechadza jednou z bocnych hran hranola ABC A'B'C' kolmo na protilahlu stenu. Tato stena rozdeluje dany hranol na dva navzajom sa neprenikajuce kolme trojboke hranoly, z których każdy ma za podstavu pravouhly trojuholnik a ma tu istu vyśku ako pÓYodny hranol (na obr. 58 je to rovina CDCD', która preehadza hranou CC' kolmo na rovinu ABA'B': urcena je hranou CG' a napr. kolmicou CD vedenou vrcholom C' na AB; tato rovina rozdeluje dany hranol na hranoly ADCA'D'C' a BCDB’C’D’). Podia vlastnosti [3] sa objem hranola ABCA'B'C' rovna suctu objemov dieleich hranoloy ADCA'D'C' a BCDB'C'D', których podstayy A DC a BCD su pravo-

uhle trojuholniky. Ak oznacime obsa-hy tychto podstay postupne p₁, p₂ a w je vel'kost spolocnej yyśky vśet-kych troch hranoloy, potom pre objem hranola ABCA'B'C najdeme

Pi^v + PA = (Pi + P₂) ^v'>

pretoze + p₂ndava obsah podstayy daneho hranola, plati aj v tomto pripade veta 1.

Priklad 4. Dany pafboky hranol (yypukly) ABCDEA'B'C’D'E' (obr. 59) rozdellme rovinami, które pre-chadzaju bocnou hranou AA' a su-ćasne postupne branami CC a DD' na tri navzajom sa neprenikajńce kolme trojboke hranoly ABC A 'B'C', ACDA’C’D’, ADEA’D'E, z których każdy ma taku vysku ako dany hranol.

Cf

Podia ylastnosti [3]' sa objem daneho hranola rovna suctu objemoy zostrojenych trojbokych hranoloy, objem każdeho z nich sa vsak rovna sucinu obsahu podstayy a vyśky. Ak teda obsahy podstay ABC, ACD a ADE su p_v p₂, p_z a spolocna yyśka je v, potom objem daneho hranola sa rovna p_xv -)- p_sv + PA¹ = (Pi + p₂ + Pa)^v- Pretoze obsah podstayy ABCDE daneho hranola je p_L -j- p₂ -j- p₃ a yelkost vysky je v, plati v naśom pripade veta 1.

Poznamka. Kvóli prehladnosti sme dokazali platnosf len pre pafboky hranol; pre n > 5 by sme postupovali podobnym sposobom. Keby boi dany IubovoIny n-boky yypukly hranol, kde n > 3, postupovali by sme pri urceni jeho objemu podobnym sposobom.

Predoślu vetu sme dokazali zatial len pre kolme hranoly. Aby sme platnosf rozśirili na vśetky hranoly, teda aj kosę, musime si najprv dokazaf pomocnu vetu:

Objem hranola royna sa sucinu obsahu kolmeho rezu prislusneho hranoloveho priestoru a dlźky boenej hrany.

303