1

32

Dla i : = 2, 3.....n

Oblicz p_; = Oblicz Yj : =

^aiPi-i ⁺ bi ^di ~ ^aih-i

a.p. , + b.

Podstaw x_n : = y_B

Dla i: = n- l,n-2,..., 1

Oblicz x_t := P^_(łl + y*

> > >

Dla i : = 1, 2, .... n Drukuj x_t

1.2.3. Algorytm rozwiązywania pięcioprzekątniowych układów równań

Metoda stanowi rozwinięcie algorytmu Thomasa i odpowiednie wzory można wyprowadzić w analogiczny sposób, jak pokazano w poprzednim podrozdziale. Dotyczy ona układów równań liniowych typu

^C1 ^dl ^el		^Xl		A
^b2 ^C2 ^d2 ^e2		^X2		fl
^ai ^b3 ^C3 ^d3 «3		^X3		U
^an-2 ^bn-2 ^Cn-2 ^d»-2 ^en-2		* i to		cs i ' ^
^an-1 ^bn-i ^Cn-l ^d»-1		*n-l		fn-l
°n K ^Cn		. *»		. fn

^ai^xt-i ^{+    +} Ci^xi ⁺ di^x,*i ⁺    > ^{i = 1}> ².....ⁿ ’

= a₂ = b_l = d_n = e_n_₁ = e„ = 0 .

(1.37)

lub w postaci zwartej (1.38)

Algorytm obliczeń sprowadza się do następującego ciągu wzorów [4]

1*2 - ^C2 ^b2 •

1.2.4. Metoda eliminacji Gaussa

Rozpatrywać będziemy układ n równań liniowych zawierający n niewiadomych (por. wzór (1.16)). Macierz główna układu może być w zasadzie dowolna, ale nieosobliwa.

Metodę eliminacji Gaussa realizuje się w kilku wariantach [2, 3, 7, 9]. Przedstawimy szczegółowo niektóre z nich. Układ równań (1.16) zapiszemy w postaci macierzy C, której n pierwszych kolumn zawiera elementy a_tj macierzy głównej A, natomiast kolumnę n+1 - wszą tworzą wyrazy wolne Z>,. Elementy tej macierzy oznaczymy symbolami c_(j

*11*1	^+ a12^X2	+ .	^+ aU^Xn ^= bl	^C11	^C12 '	• ^Cln	^Cl,n+1
°21 ^Xl	^+a22 ^X2	+ ,	•^+a2n^Xn=h ^ c_	^C2l	^C22 •	* ^C2 H	^2,n+1	(1.40)
^anl^Xl	^+ an2^X2	+ ..	• ^+ann^Xn=^bn	^c»i	^Cn2 ■	■ ^Cnn	^ntn* 1

Wariant podstawowy metody eliminacji polega na takim przekształcaniu macierzy C, aby otrzymać równoważny, prostszy układ równań, w szczególności n pierwszych kolumn macierzy C winno tworzyć macierz trójkątną. Etap drugi sprowadza się wówczas do rozwiązania trójkątnego układu równań (por. rozdział 1.2)).