54 55

2.3. Miary asymetrii

Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nic tylko przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości, ale również to. czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej, czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy. Problem ten wiąże się z oceną asymetrii (skośności) rozkładu.

Asymetrię rozkładu najłatwiej jest określić poprzez porównanie dominanty, mediany i średniej arytmetycznej. W rozkładach symetrycznych wszystkie średnie (x, D, Me) są równe. W rozkładach asymetrycznych wymienione średnie kształtują się na różnych poziomach. Jeśli spełniona jest nierówność: X > Me > D, to rozkład charakteryzuje się asymetrią prawostronną; jeżeli zaś zachodzi nierówność: X < Me < D. to mówimy o asymetrii lewostronnej (por. rys. 6).

• V,    ,    f

J    *

ot asymetrio lewostronna    bfosymetria prawostronna

Rys. 6. Położenie miar tendencji centralnej w szeregach asymetrycznych

Rozkłady jednej zmiennej różnią się między sobą kierunkiem i siłą asymetrii. Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik asymetrii (skośności) określony wzorem:

W_tm i — D.    (2.36)

W przypadku rozkładu symetrycznego wskaźnik skośności równa się zeru, gdyŹjE = D. W przypadku asymetrii lewostronnej wskaźnik skośności jest ujemny (X < D), a w przypadku asymetrii prawostronnej — dodatni (X > D).

Wskaźnik asymetrii można również obliczyć nu podutuwie kwurtyli. Zachodzą wówczas następujące zależności:

—    przy rozkładzie symetrycznym

(2.37)

(2, - Q₂) - «?: - <?,) = 0;

—    przy rozkładzie o asymetrii prawostronnej

<!Qy ~ Qz) - «?: - <?,) > 0;    (2.38)

—    przy rozkładzie o asyrpetrii lewostronnej

(Qs - Qz) ~ (ft - <?,) < 0.    (2.39)

Wskaźnik skośności jest bezwzględną miarą asymetrii posiadającą miano badanej cechy. Z tego względu nic można go używać do porównywania asymetrii w zbiorowościach. w których wartość zmiennej jest wyrażona w różnych jednostkaehjmaryJPonadto wskaźnik skośności określa jedynie kierunek asymetrii (prawostronna czy lewostronna), nie wskazując jej siły, gdyż jest wielkością nicunormowaną.

Miarą określającą zarówno kierunek jak i siłę asymetrii jest współczynnik asymetrii (skośności). Jest to miara nicmianowana i unormowana, co umożliwia porównywanie asymetrii różnych rozkładów. Współczynnik skośności można obliczać następującymi metodami:

x - D
As =-, s		(2.40)
X - D
d .		(2.41)
(Q} - <22) - (Qi - <2.)	Qs + Q, - 2 Me	(2.42)
((?. - Q>) ♦ (Q, - 0,) "	2 Q

Współczynniki asymetrii określone wzorami (2.40) i (2.41) należy traktować jako wzajemnie wykluczające się, gdyż odpowiadają one na podobne pytania (jaką część odchylenia standardowego lub przeciętnego stanowi różnica między średnią arytmetyczną i dominantą) i mają identyczny sens logiczny. Natomiast współczynnik asymetrii określony wzorem (2.42) — zwany pozycyjnym współczynnikiem asymetrii — jest miarą uzupełniającą, ponieważ określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w drugiej i trzeciej ćwiartce obszaru zmienności, a więc w zawężonej „przestrzeni” . Pozycyjny współczynnik asymetrii wykorzystuje się zwykle wówczas, gdy rozkład cmpirycz-

55