56 57

ny nie spełnia warunków niezbędnych do obliczenia dominanty czy średniej arytmetycznej.

f Wartości współczynników asymetrii z reguły zawierają się w graniach:    '~'v

v-l < Ar < +1.    ,    (2.43)

Jedynie przy bardzo silnej asymetrii przekraczają one nieznacznie wartość ± 1. Dla rozkładu symetryę^nęgę Ay = (), dla rozkładu o asymetrii prawostronnej As > 0. a_ dlą. rozkładu 0. asymetrii Je^ostronncj As < 0. Jm większa jest wartość bezwzględna współczynnika skośności, tym silniejsza jest asymetria badanego rozkładu.

Siłę i kierunek asymetrii można również mierzyć posługując się momentem centralnym rzędu trzeciego. Momentem centralnym r-tego stopnia (r-tego rzędu) nazywamy średnią arytmetyczną z odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej podniesionych do r-tej potęgi:

¹ ^

»t, = — 2-Cc, - -f)^rn. (r = 0, 1.2, ...).    (2.44)

Moment centralny trzeciego stopnia obliczamy więc następująco:

(2.45)

Dla szeregów' dokładnie symetrycznych = 0. W rozkładach o asymetrii prawostronnej m, > 0, o asymetrii lewostronnej zaś w, < 0. Moment centralny trzeciego rzędu informuje jedynie o kierunku asymetrii. W celu uzyskania miary asymetrii informującej zarówno o kierunku jak i o sile asymetrii należy obliczyć stosunek wartości momentu centralnego trzeciego rzędu do sześcianu odchyleniu standardowego, czyli:

Relację określoną wzorem (2.46) nazywamy momentem aUmdaryzo-wanym trzeciego rzędu. Moment ten jest równy zeru, gdy rozkład jest symetryczny, dodatni w przypadku asymetrii prawostronnej i ujemny w przypadku asymetrii lewostronnej. Przybiera on wartości zawarte w przedziale od -1 do +1.

2.4. Miary koncentracji

Statystycznego opisu struktury zjawisk masowych można również dokonać pod względem koncentracji. Rozróżnia się dwa rodzaje koncentracji, koncentrację rozumianą jako nierównomierny podział zjawiska w zbiorowości oraz koncentrację zbiorowości wokół średniej (tzw. kurtoza). Ze zjawiskiem koncentracji pierwszego rodzaju mamy do czynienia wówczas, gdy występuje nierównomierny rozdział łącznego funduszu cechy (np. dochodu, produkcji) pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości (np. indywidualne osoby czy zakłady produkcyjne). Koncentracja w tym znaczeniu jest bezpośrednio związana z asymetrią i dyspersją. Im silniejsza asymetria i większe zróżnicowanie jednostek, tym koncentracja jest większa.

Dwa skrajne przypadki to brak koncentracji oraz koncentracja zupełna (całkowita). Brak koncentracji występuje wówczas, gdy na każdą jednostkę zbiorowości przypada taka sama część ogólnej sumy wartości (np. każdy pracownik w przedsiębiorstwie otrzymuje taką samą część łącznego funduszu płac). W przypadku koncentracji zupełnej łączny fundusz cechy przypada na daną jednostkę zbiorowości (np. łączny areał ziemi w województwie należy do jednego gospodarstwa rolnego).

W rzeczywistości zjawiska braku koncentracji i koncentracji zupełnej raczej nic występują. Najczęściej mamy do czynienia z różnym natężeniem koncentracji. W praktyce statystycznej stosuje się zwykle dwie metody badania sił)’ koncentracji zjawisk: graficzną i analityczną. Metoda graficzna polega na wykreśleniu tzw. wieloboku koncentracji I.orenza. W tym celu na osi odciętych odmierza się skumulowane częstości względne (w %). natomiast na osi rzędnych — procentowe skumulowane częstości względne łącznego funduszu cechy. Łącząc punkty o tych współrzędnych otrzymujemy tzw. krzywą Lorenza. W przypadku równomiernego rozdziału łącznego funduszu cechy pomiędzy jednostki zbiorowości wszystkie punkty leżałyby na przekątnej kwadratu o boku 100. Dlatego przekątna kwadratu nosi nazwę linii równomiernego rozdziału. Powierzchnia zawarta między linią równomiernego rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza jest powierzchnią koncentracji. Im większy jest stopień koncentracji, tym bardziej krzywa Lorenza odchyla się od linii równomiernego rozdziału. Maksymalna wartość powierzchni koncentracji jest równa połowic pola kwadratu.

57