6

3. Całkowe przekształcenie Fouriera sygnałów nieokresowych

Sygnał impulsowy zadany w postaci pewnej funkcji w przedziale czasu(ti,t2)można również rozwinąć w szereg Fouriera względem funkcji trygonometrycznych. Jednakże tuka reprezentacja zapewni poprawny wynik jedynie w przedziale czasowym, w którym jest określony sygnał. Poza przedziałem, gdzie x(t)=0,szereg będzie dawał wartości różne od 0. Ciąg impulsów powtarzanych okresowo z dowolnym okresem T można zapisać w postaci

"    2 ni    i ^m

szeregu Fouriera: x(t) =    -gdzie ⁼    = — [x(t)e~^jl“^iv . Im jest większy

T    T

okres tym mniejsze będą współczynniki aj. Przy T—amplitudy poszczególnych składowych będą oomale. Nieskończona suma tych składowych będzie równa nieokresowej funkcji x(t)zadanej w przedzialeOt.tz). Liczba składowych harmonicznych będzie

2 pi

w. Odległość miedzy

nieskończenie duża, bo przy T—►<» , czest. podstawowa co. =

sąsiednimi składowymi harmonicznymi równa się czest podstawowej , będzie nieskończenie mała. Widmo sygnałów będzie ciągle. Wielkość G(co) = j[ x(t)e^JMdt .nazywa

-r/j

się cliaraklerystyka widmowa sygnału impulsowego x(t). Ogólnie G(m) = j” x(t)e ^iadi

Wyrażenie x(t) można zapisać x(t) =    _: j G(a>)e^lMd(o. Przekształcenie całkowe Fouriera

przedstawia sygnał impulsowy w postaci nieskończonej sumy nieskończenie małych składowych harmonicznych określonych na całej osi częstotliwości

G(co) = A(cd)~ jB(a))=\G(aj)\e^lp{‘^,)    A(ro) = j x(t)cas<vtdt H(co) = ^x(t)svx<vtd<

r—--- ,    LS(<z>)

G(/y) = JA (co) 4 B (oj) <p(co) = -arctg---^L, Moduł charakterystyki widmowej sygnału

A(co)

nazywa się charakterystyka amplitudowa-czestotliwosciowa, a argument <p(co) -cliaraklerystyka fazowo-czeslotliwosciowa