Dla szeregu wyliczającego oblicza się ją w następujący sposób:
(2.23)
N j-i
dla szeregu rozdzielczego punktowego:
s2 = -{7 X(x, - X)2!!/, (2.24)
dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:
s2 = -j- X(£, - x?n,. (2.25)
/V i.j
Wariancja jako miara zróżnicowania ma szereg właściwości, m.in.:
1) wariancja wartości zmiennej jest różnicą między średnią arytmetyczną kwadratów wartości zmiennej a kwadratem średniej arytmetycznej tej zmiennej, czyli:
s2 = lr-X2\ (2.26)
2) jeżeli badaną zbiorowość podzielimy według określonego kryterium na k grup. to wariancja dla całej zbiorowości (wariancja ogólna) będzie sumą dwóch składników: średniej arytmetycznej wewnątrz-gnipowych wariancji wartości zmiennej (wariancji wewnątrzgrupowej) oraz wariancji średnich grupowych wartości tej zmiennej (wariancji międzygrupowej), co można zapisać następująco:
k »
X(.?, - *)2n,
s2 = ? + s\it) = -. (2.27)
gdzie: k — liczba grup, na jaką podzielono badaną populucję; N — liczebność ogólna zbiorowości; sj — średnia arytmetyczna ważona z wariancji wewnątrzgrupowych; X — średnia arytmetyczna całej populacji; xt — średnia arytmetyczna i-tej grupy; xl(X,) — wariancja średnich grupowych (wariancja międzygrupowa).
Własność określona wzorem (2.27) nosi nazwę równości warian-cyjncj. Technikę obliczania wariancji zilustrujemy nu przykładzie danych zawartych w tablicy 5.
Wick zmarłych — *i/ |
Liczba zmarłych n, |
Obliczenia pomocnicze | ||||
i, |
k,n, |
i,-S | ||||
0- 6 |
3186 |
3.0 |
9558 |
-3.6 |
12.96 |
41 290.56 |
7-13 |
623 |
10.0 |
6230 |
3.4 |
11.56 |
7 201.88 |
14-20 |
336 |
17.0 |
5712 |
10.4 |
108.16 |
36341.76 |
21-27 |
243 |
24,0 |
5832 |
17.4 |
302.76 |
73570.68 |
oc 1 |
74 |
28.5 |
2109 |
21.9 |
479.61 |
35491.14 |
Ogółem |
4462 |
X |
29441 |
X |
X |
193896.02 |
W wieku ukofwzonych dni.
Źf<cc RfK-^nik (łsnutęraficzny /97<5, ] IV
W celu obliczenia wariancji należy najpierw obliczyć średnią arytmetyczną:
.x =
29441
4462
= 6.6 dnia.
Informacje podane w tablicy 5 tworzą szereg rozdzielczy przedziałowy. Wariancję z takiego szeregu obliczamy według wzoru (2.25):
193896.02
4462
= 43.5 dni*’.
Wariancja, jako suma kwadratów_dzielona nrzez liczbę <|qdatnia. \ jest zawsze wiejk<j.śrią nirujemną ♦ mianowaną. Mianem wariancji jest •> kwadrat jednostki fizycznej, w jakiej mierzona jest badana cecha. Im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana, tym wyższa jest wartość wariancji—
Podamy teraz konkretny przykład wykorzystania równości warian-cyjnej. Załóżmy, że w pewnym przedsiębiorstwie składającym się z trzech zakładów przeprowadzono badanie dotyczące stażu pracy pracowników. Okazało się, że w zakładzie I zatrudniającym 50 pracowników średni staż pracy wynosił 12 lat. a zróżnicowanie stażu mierzone wariancją było równe 3 lata:. W zakładzie II pracowało 100 pracowników, średni staż pracy wynosił tu 8 lat, a wariancja 2 lata2. Wreszcie, w' zakładzie III przeciętny staż pracy 75 pracowników był równy 10 lat. a wariancja 4 lata2. Naszym zadaniem jest określenie
49