Ebook7

104

Ho <1 ml 5. Rachunek całkowy

Przy podstawieniu tg f = t wykorzystujemy wzory

21

sin x =

cos x =

tg x =

1 + t² 1 - t²

1 + t² 21

1 -t²'

W praktyce podstawienie tg | = t stosujemy do całek typu

/A\ sin x + B\ cosx + C\ .

——_;-—-—aa:,

Ai sin x -f B2 cos x + C2

gdzie Ai, A2, B\, B2, C2 są dowolnymi stałymi.

W celu rozwiązania całek typu / R(sin" x, cos² x)dx stosujemy podstawienie tgx = t. Stąd mamy

x = arctgż dt

dx =

14-t²'

Przy podstawieniu tg a: = t wykorzystujemy wzory

a

v

sin x —

cos x =

1 + t² 1

1 +t² t

sm x cos x =

l+t²'

Przy pomocy wyżej omówionych podstawień całki podanych typów sprowadzamy do całek z funkcji wymiernych.

PRZYKŁAD 18. Obliczyć całki:

a)/    ^

b) f -

> J SI

5+4 sin x ’ ctR xdx

sinx+cosx—1'

5.6. Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

165

ROZWIĄZANIE.

a)

/

dx

5 -1- 4 sin z dt

tg f

dx

2 dt l + t'²

dt

(^t + k)² + JS

dt

8*

dt ■    ³ dz

z ■ 'JM £

dz 2

“2TT = ^arctgz + C’ z²² + 1    3

2 r %dz _ 2 r ''I) |,(z² + l) " 3/

= ?arctg (|t + |) +C = ?arctg (ftg§ + |) + C,

b)

/

ctgxdx

sin x + cos x — 1 -t²

tgf = t

dx =    ²—₇

I+t⁷

i_*2

Ctg X = ~2t~

-J

2t

l+«^a

1-t³

t(l+t^aJ

^{dt =} \J

+ i=i2_l

^ l + t^{3    1}

t + 1

dt. =

■2(² + 2t) J 2*2(1 -I)

-5/(ł⁺?)*-K^hW-i)^+c-

*2

dt =

⁼ 2

(^ln l^tg II - tif)+¹⁰ = 5 (^ln l^tg 1I-^ctg I)^{+ c}-

PRZYKŁAD 19. Obliczyć całkę f

^{x J} sin i

ROZWIĄZANIE.

Wykorzystując tożsamość sin² x + cos² x = 1, mamy

Niech

/

dx

sin³ x

f sin² x + cos² x    f dx

i sin³x    J sinx

cos² xdx

sin³ x

h =

dx    f cos² xdx

h = j