sc0007 bmp

1° Jeśli rz(A) = rz(A_u) = n, to układ (1) jest oznaczony 2" Jeśli rz(A) = rz(A_u) < n, to układ (1) jest nieoznaczony 3° Jeśli rz(A) * rz(A_u), to układ (1) jest sprzeczny.

Zadanie:

Zbadać, dla jakich wartości parametru k poniższy układ równań liniowych jest: 1) oznaczony, 2) nieoznaczony,

3) sprzeczny:

kx_{ +x₂ +2x₂ =2 x, + bc₂ + 2x₃ = 2 + x₂ + (k + l)x₃ = 2 k

Dla rozwiązania zadania należy zbadać: dla jakich keR zachodzi, równość: rz(A) = rz(A_ll)?

1) Obliczam DetA:

k 1    2

DetA =

k 2 1 /Ml

= k²(k + \) + 4-2k-2k-(k-v\) = k' i k²-5k\- 3

DetA = 0 o ID + k² - 5k + 3 = 0 o (k -1 )\k + 3) = 0 Stad: DetA + 0 o k e R \ {- 3;l}.

Czyli rz(A) = rz(A_u)=3 dla k * -3 a k .

Zatem na podstawie twierdzenia Croneckera - Capelliego stwierdzamy, iż dany układ równań jest oznaczony dla keRV{-3,l}. Dla pełności rozwiązania zadania należy rozważyć jeszcze poniższe przypadki: