IMG44

Dodatek C

PRZEKSZTAŁCENIA CAŁKOWE

W dodatku tym zebrano podstawowe wiadomości dotyczące przekształcenia Laplace’a, jego własności i rozwiązywania równań różniczkowych metodą operatorową opartą na tym przekształceniu oraz przekształcenia Z, jego własności i rozwiązywanie równań różnicowych metodą operatorową opartą na tym przekształceniu. Dowody podanych tu twierdzeń można znaleźć w [85, 153, 178).

C.l. Przekształcenie Laplace’a i jego własności

C.l.l. Przekształcenie Laplace’a

Weźmy pod uwagę zbiór Cc (t) funkcji /(£) czasu t spełniających następujące warunki:

•    Funkcja f(t) = 0 dla t < 0.

•    Funkcja /(t) jest jednoznacznie określona w całym przedziale od 0 do oo i ciągła z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale; w punktach tych następuje skok funkcji o skończoną wartość.

•    Funkcja f(t) rośnie co do bezwzględnej wartości nie szybciej niż funkcja wykładnicza, tzn. istnieje liczba rzeczywista dodatnia M oraz liczba rzeczywista nieujemna a taka, że |/(f)| < Me .

DEFINICJA 204

Jednostronnym przekształceniem Laptace’a (krótko przekształceniem

Laplace ’o) nazywamy przekształcenie określone zależnością

(C.l)