P3310013 (2)

V ~t VŚA>vc.\«ii

L.6. Geometryczna reprezentacja zmiennych i współczynnika korelacji

W macierzy danych X zmienne X, (j —    ,p) są reprezentowane przez wek

tory kolumnowe \ . = Vx_x,,x , ₍.... ,.v_n)T pomiarów cechy wykonanych na n ohiek-tacl\. Dla każdej pary wektorów iloczyn

jest w geometrii iloczynem skalarnym tych dwóch wektorów, zaś w statystyce -sumą iloczynów odpowiadających sobie wartości zmiennych i.dla par obserwacji).

Iloczyn skalarny wektora z samym sobą x’ _j x . jest z kolei pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów wartości zmiennej X_j,^T_j ^ x*, a z geometrycznego

punktu widzenia jest długością wektora \x _i\. Stosując te oznaczenia iloczyn skalarny możemy zapisać w postaci alternatywnej

(V26)

1 -t- jilx_k\cosa

gdzie a jest kątem między wektorem x, a x_k (oba wektory mają wspólny początek w punkcie O (0,0) układu współrzędnych). Rozwiązując równanie (1.26) ze w zględu na cos a, otrzymujemy

x_t = x

*

x x,

cos a =

U .27)

A|VS^X'

2*i

Porównanie wzoru (1.20) na współczynnik korelacji zc wzorem (ł .27) na c sinus kąta między wektorami zmiennych wskazuje, że współczynnik korelacji jesl równy cosinusowi kąta między centrowanymi wektorami znucnnych x . — x ₍ oraz x _k — x_k.

Ograniczając się do dwuwymiarowej przestrzeni pomiarów (obiektów), moż na to przedstawić na rysunku (z.ob. rysunek \.i), gdzie zmienna \₍ reprezento-wana jest przez wektor dwóch wyników pomiarów = \.v_u , \ natomiast zmienna A , przez, wektor x ₂ == {Xu ,x _u\ Odległość od początku układu współrzędnych do punktu H, wyznaczonego przez, prostopadły rzut wektora\ _x \va wektor x ,, jest dana przez. | x jcos a Iloczyn skalamy jest zatem iloczynem długości wektora x ₂ i długości rzutu wektora x , na wektor \ _}