stat PageG resize

47

Statystyka matematyczna

Testy zgodności z rozkładem normalnym

Testy te sprawdzają, czy próbka pochodzi z jakiegoś rozkładu normalnego. Przykładem są tutaj testy KołmogorowarSmirnowa, czy Shapiro-Wilka. Testy te są szczególnie istotne, ponieważ założenie o tym, że dane pochodzą z pewnego rozkładu normalnego, jest często wykorzystywane w innych testach statystycznych (patrz np. rozdział 3.6.4).

Testy średnich

Testy te wykorzystywane są w przypadku dwóch (lub większej) liczby grup obserwacji. Ich celem jest sprawdzenie hipotezy, czy średnie w poszczególnych grupach są identyczne. Dla dwóch grup przykładem są tu tzw. testy t. W teście tym zakładamy, że obserwujemy dwie próby X\, A'2,..., oraz Yi, Y₂,..., przy czym X_u X_2i..., X_ni ~ N(fi_X,°²) oraz Y_uY_2i..., Y_ni ~ N(py, a²). Hipoteza zerowa ma postać

Ho ■ HX = t*Y •    (3.118)

Jak widzimy, chcemy sprawdzić hipotezę o równości średnich, przy założeniu, że nieznana wariancja jest taka sama w obydwu próbach i wynosi a².

Przez x oznaczymy średnią dla pierwszej próby („iksów”), przez y - średnią dla drugiej próby („igreków”), przez - empiryczną wariancję obliczoną dla pierwszej próby, a przez $y - empiryczną wariancję obliczoną dla drugiej próby. Wtedy statystyka testowa ma postać

* - y    /nin₂{ni -f n₂ - 2)

\AflSx +«2«v- V	ni -ł-ri2
Hipotezę (3.11S) odrzucamy, jeśli

(3.119)

m >    •    (³-¹²°)

Należy pamiętać, że przed wykonaniem tego testu niezbędne jest sprawdzenie dwóch jego założeń - o tym, że odpowiednie próby „iksów” i „igreków” pochodzą z rozkładu normalnego, oraz o tym, że wariancje w obydwu próbach są takie same. Jeśli założenie o równości wariancji nie jest spełnione, zamiast wyżej przedstawionego testu, zastosować możemy bardziej skomplikowany test Satterthwite’a.

W przypadku trzech (lub większej) liczby grup odpowiedni test porównywania średnich w grupach nazywa się analizą wariancji. Hipoteza zerowa ma wtedy postać

Ho : A*i = A*2 =    = • • • = Vk >    (3.121)

gdzie m oznacza średnią dla i-tej grupy złożonej z obserwacji    , X$.

W praktyce bardzo często spotykanym modelem jest założenie, że obserwacje mają postać

xf> = n + Vi + ti} ,    (3.122)

gdzie h jest stałą dla wszystkich obserwacji wartością oczekiwaną, rn jest składową wyniku pomiaru wynikającą z działania pewnego i-tego czynnika zewnętrznego (tzw. przyczyny głównej), zaś jest losowym błędem, jednorodnym pod