Image78

154

III. FIZYKA STATYSTYCZNA Z ELEMENTAMI TEORII TRANSPORTU 5. ELEMENTY KOMBINATORYKI I RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

5.1. Liczba powitań jest równa ilości kombinacji 2-elementowych ze zbioru 8-elementowego. Zatem

/

If

5.2. Ilość sposobów na wybranie pododdziału wyraża się wzore

5.3. Zauważmy, że każdą liczbę czterocyfrową możemy uważać za 4-elemen-towy ciąg o wyrazach ze zbioru {0, 1,    9}. Ilość liczb 4-cyfrowych, w których

żadna z cyfr nie powtarza się, jest więc równa liczbie wariacji bez powtórzeń 4 elementów ze zbioru 10-elementowego, pomniejszonej o liczbę takich wariacji, które na początku mają zero. Szukana ilość jest dana równością

/

9 • 10!

10 (10 - 4)!

4536.

5.4. Spośród 24 liter możemy wybrać 3 litery na tyle sposobów, ile jest wariacji 3-elementowych ze zbioru 24-elementowego. Analogicznie obliczymy ilość sposobów wyboru 4 cyfr spośród 10. Stąd liczba - różnych tablic rejestracyjnych o 3 literach i 4 cyfrach jest równa

h

W li W\o = 24³ • 10⁴

Tak samo obliczymy l₂ - ilość tablic rejestracyjnych o 4 literach i 3 cyfrach

Zatem szukana liczba / jest dana wzorem

10

/ = /+/ = 24³ • 10⁴ + 24

5.5. Liczba l rozmieszczeń 8 ponumerowanych kul w trzech szufladach jest równa liczbie 8-elementowych ciągów o wyrazach 1, 2, 3 (gdzie 1, 2, 3 oznaczają numery szuflad). Zatem

/

W\ = 3

8

6561.

5.6. Ilość sposobów /, na jakie można posadzić 7 osób na 7 ponumerowanych krzesłach jest równa ilości permutacji zbioru 7-elementowego, czyli

/ = p₇ = 7! = 5040.

5.7. Ponieważ ilość wariacji 2-elementowych ze zbioru 24-elementowego jest równa

W\₄ = 24² = 576 < 1000.

Zatem w grupie 1000-osobowej inicjały muszą się powtarzać.

5.8. Zauważmy, że tylko 9 spośród 10 cyfr może być takich samych na początku i na końcu liczby czterocyfrowej (0 nie może być na początku). Ilość możliwych sposobów ustawienia 2 środkowych cyfr jest równa wariacji 2 elementów ze zbioru 10-elementowego. Szukana ilość l jest więc dana wzorem

l

9 • Wio = 9-100

900.

5.9. Zbiór zdarzeń elementarnych 12 jest równy:

gdzie

Q = {(«*, a)j\

i, j = 1, ..., 6}

5.10. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór

12 = {(co₁, (o₂, «₃); u>i = 0 lub R dla i = 1, 2, 3} Liczba wszystkich elementów tego zbioru

8.

N = Wl = 2³ =