img074 (24)

79

(4.17)

(4.18)

(4.19)

Ra ■ - macierzowej ||-||_E i normy wektorowej j|-||₂, wzór (4.6), spełniona jest nierów-

(4.25)

| A ■ x ||₂ <|| A |

E ' Ir Il2

I*

-anmek zgodności normy ||-||_E z normą wektorową ||-||2). Norma euklidesowa marę j es: indukowana (w sensie definicji (4.15)) przez żadną normę wektorową zadaną Baniach R i R^m [7],

się. że równanie (4.3) jest równoważne równaniu wyjściowemu (4.2). A za-

: G ■ X* + C ,

(4.26)

(4.20)1

.esc rozwiązaniem równania (4.2). Odejmując stronami równanie (4.26) od równa-aaeso v- i4.4), otrzymuje się

* 1 Ó II *>, 1 +	(4.27)
■(k)-* =G^k •(ac(o)-ac*).	(4.28)

(4.211

redzie dowolną normą w R”. Korzystając z (4.28) i nierówności (4.16), ■■we sę zastępujące oszacowanie

(4.22*

^c(o)‘

< G

*(o) - ^x

(4.29)

Łka następujące twierdzenie o zbieżności ciągu iterowanego danego formułą nych n x n wymiarowej® pwnesKr n_ - - będące szczególną wersją twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzo-

"j—fi

:h ma miejsce

:;go (zob. twierdzenie 3.6 zamieszczone w podrozdziale 3.2.1).

(4.231

4,1

er. r: wolna norma macierzy G zgodna z zadaną normą ||-|| w R" przyjmuje ame-rs :c jedności, to ciąg (jc_(A.))/t₌o,i,2,-.- zdefiniowany formułą rekurencyjną

es:    rrr zbieżnym dla każdego punktu początkowego X(₀) e R".

Z ^:_ iizacą: x e R" granicą ciągu (x_{k))_k=0,2 ... jest w tym przypadku wektor w

eryzym rozwiązaniem równania (4.3), a tym samym granicą tego ciągu jest Kłcy rozwiązaniem danego równania (4.2).    ■

wykazać [2, 16], że m:

>ch. przy czym niektóre: o dowodzi się, że wart czywiste. Ponieważ więc { itami zbioru Spectff ⁷ ■ At dodatnimi [7]. obliczenia niż dwie pozo- ¹

eh uwag - ma duże zna- jL^._; .    __~ ~--tm. na przykład dla ||-||| lub ||-||„o, sprawdzenie warunku dostatecznego

aacierzy wykorzystywana _____ ' ^U(dniejsza jest natomiast weryfikacja warunku koniecznego i dosta-

uklidesową (4.6) wektora. “    ’    “ następującym twierdzeniu [8J.

<n wymiarowej

macie

₌ - dany formułą rekurencyjną (4.4) jest zbieżny do rozwiązania x czy dowolnym punkcie początkowym x₍₀) dla iteracji wtedy i tylko wtedy,

(4.241

P(G)<1,

(4.30)