MATEMATYKA028

48 I. Wiadomości wstępne

 

11.

12.

13.

15.

fi) f	'(X)	X + 1 2 *	b)r^,(x)*-^TT.		c)	r'(x)-	logjX,
d) r	-'(X)	1	c)r^,(x)-3^x	-2.	0	r'(x).	■K
y-l	-X
a) -	5it 4 '	b) 0 ,	V ^K ^c>~r	d) 0 .
	1	2	b)^3- ^2	1		c) ^1	X
^a)x		x+3'	^b) X X+1	(x + l)^:	2 '	^C)x	x^2+4

4. PRZESTRZEŃ METRYCZNA. ZBIEŻNOŚĆ W PRZESTRZENI METRYCZNEJ

PRZESTRZEŃ METRYCZNA Przestrzeń metryczna jest to, mówiąc niezbyt precyzyjnie, zbiór, w którym jest określona odległość (metryka) dowolnych dwóch elementów tego zbioru. A teraz dokładniej:

Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór X i funkcja p, która każdej parze elementów zbioru X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, przy' czym

(1)    (p(P,.p₂) = 0)o(p, = p₂),

(2)    P(P|.P₂)=P(P₂.P,)

(3)    P(Pi.P₂)£/?(p„p,)+p(p,,pj)

dla dowolnych p, ,p₂, p_} € X. Zbiór X nazywamy wówczas przestrzenią metryczną, p - metryką tej przestrzeni, a liczbę p (p,,p₂) - odległością elementów p, i p₂.

Z określenia tego wynika, że wartości funkcji p są liczbami mcujcmnymi. Rzeczywiście, dla dowolnych p,,p₂ € X mamy

<0    (5)    (2)

0 = p(p_1>p₁)£_/?(p,_tp₂)+/?(p₂,p,) = 2/>(p₁.p₂),

a stąd 2p(p,,p₂)£0, czyli p(p,,p₂)^0.

PRZYKŁADY PRZESTRZENI METRYCZNYCH Z powyższej definicji wynika, że przestrzeń metryczna jest określona, gdy podany jest zbiór X i funkcja p, która spełnia warunki (1) - (3). Każda z funkcji p w poniższych przykładach spełnia te warunki (co przyjmujemy tu bez dowodu), a zatem jest metryką w rozważanej przestrzeni

PRZYKŁAD 41

a)    Zbiór liczb rzeczywistych z metryką określoną wzorem

p(x,,x_;Hx,-x₂|, x,,x₂ €R,

jest przestrzenią metry czną. Nazywamy ją jednowymiarową przestrzenią cuklidesową i oznaczamy symbolem R lub R

b)    Zbiór par liczb rzeczywistych z metry ką określoną wzorem

PiP,.P₂) = V(x,-x₂)^! + (y,-y₂)^:.

gdzie p, = (x. ,y,), p_: = (x₂,y₂) są dowolnymi elementami tego zbioru, nazywamy dwuwymiarową przestrzenią euklidesową i oznaczamy symbolem R .

Przestrzeń R¹ i R^: możemy geometrycznie interpretować jako zbiór punktów odpowiednio: prostej i płaszczyzny, w którym odległość dowolnych dwóch punktów' jest mierzona długością odcinka łączącego te punkty. Metrykę taką nazywamy metryką naturalną lub cuklidesową Analogicznie.definiujemy trójwymiarowy przestrzeń cuklidesową R \

c)    Uogólniając powyższe określenia, zdefiniujemy przestrzeń R", n > 3, dla której modelu geometrycznego już mc mamy.

Zbiór n-wyrazowych ciągów liczb rzeczywistych z metryką określoną wzorem    __

gdzie p, =(x,,...,x_n), p_: =(y,,...,y_n) dowolnymi elementami rozważanego zbioru, nazywamy n-wymiarową przestrzenią cuklidesową i oznaczamy symbolem Rⁿ.

d)    W zbiorze liczb zespolonych C metrykę określamy wzorem

P(Zp²?) ⁼l^zi ”^zżl* ^zi»^z2 ^e