MATEMATYKA171

332 VI Ciągi i szeregi funkcyjne

Stąd dla x€<-x,x> otrzymujemy

n O

^21x,= *⁺^2^« - D" -l)cosnx = * f Z^~j7^{COs(2n + l)x}' a więc

-, cos(2n + l)x dla \ €((),*)

FRZYKI. AD 44 Rozwiniemy w szereg Fouriera funkcję f(x)=)xj dla xe<-l.l>.

Funkcja ta spełnia warunki Dirichlcta i jest parzysta na przedziale < — 1.1>_f w'ięc rozwija się według cosinusów (wszystkie b_n=0). Obliczamy więc współczynniki a_n zc wzoru (4.2) dla t = I

t    i

a₀^e j|xjdx=2jxdx=l,

-I    o

I    I    ₇

a_n = J|x|cosnxxd\ = 2 J xcosnxxdx = -f-y((- l)ⁿ -1)

i    o    ⁿ 11

Zatem dla xe<-l,l>

|x|= {+£“rr((- U""l)cosnłrx = ₇ --^ ^cos(-ⁿ + 0*x .

- n x    - x _n=f, (2n+i)

W szczególności dla x = I otrzymujemy

■^x‘(2n-f l)‘

n*x

n 1

a stąd

1

X ^(2n+l)^{2 J} I* ⁺7⁺5^{2 +}

T = I

n O

Czytelnikowi pozostawiamy naszkicowanie wykresu sumy S(x) otrzymanego szeregu trygonometrycznego np na przedziale <-2,2>.    ■

Uwaga W rozdziale 1. 2 zdefiniowaliśmy funkcję sinz, cosz dla dowolnych argumentów zespolonych z za pomocą równości

co$z=-₇(c^,z-ł-e"'),    sinz=-l(e^,'-e"’).

W szczególności dla z=xeR mamy

cosx=4(c^Lx+c"). sinx=^r(c^w-e^,x)

Korzystając z tych równań szereg trygonometryczny (4.1) można zapisać

w postaci zespolonej

Of.    nxx . ,:„nnXv

f+ŁUn«»— +^b-^sm - '⁼

n I

t    1

inscx -jn«x

ao    micx -inwx ,    -mnx

i +c <" )+^<e ' -c ' )1=

11-1

X

iniw

ib.

IIIIK

ikir\

=^+B<l^L-l^IL>^e ' +(^-+^^L>^c"^r 1= Ic_ke •

k=-oc

gdzie c₀ = ~, c_k =-(a_k -ib_k), c__k = ₂(a_k + ib_k), k = 1,2,3.....

dla xe<-7r,7t>, d) f(x)=lcosxl dla xec-ir,x>_ł

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f: : a) f(x)=x dla xe(-7t_łu), b) f(x)=x² c) f(x) =|sinx| dla x€<-*,*>,

c) f(x) =	J 0 dla x e(—x,0), \x dla xe<0,n),	Of(x)	f-3dla x <=(-*,0), \x dla x6(0.x).
g) f(x) =	jx/2 dla xe(-7t,0>, \ x dla xe(0.7i).	h) f(x)	_|X4 71 l *	dla illa	xe(-x,0>, JLi (<>,*).
	0 dla xe<- n,~).		X + X	dla	-71, \€<-7t,1 ),
i)f(x) =	1 dla xe(—	J)f(x) =	7t 2	dla	-x 7t xe< 2'*T>’
	0 dla X€(y,X>,		-X + 7t	dla	X€(”.7t>,

^k)^f<^x)={'|^X 2 "Sr ') nx)=xsinx dla *«-«.*>.