Nowy 8 (5)

16 Sygnały i ich parametry

16 Sygnały i ich parametry

(1.15)

^Rxy(^k)= X*(»)/(»-*). ^Rxx(^k) = ^Rx(^k) = Y_dx(n)x*(n - k)

Natomiast dla sygnałów okresowych o okresie N mamy:

| iV-l    , N-1

^Rxy(^k) = -jj    R_xx(k) = R_x(k) = — '£x(n)x*(n - k)

n=0

N

(1.16)

n=0

Własności (1.12a) — (1.12c) są także prawdziwe dla funkcji korelacji sygnałów dyskretnych. Ponieważ w praktyce nie dysponuje się nieskończoną ilością próbek sygnału, wartości funkcji (1.15) estymuje się (przybliża) na podstawie dostępnych N danych za pomocą jednej z następujących zależności (-N+1 < k <, N-\):

N-\-\k\

(1.17)

^Rxy(^k)= X x(n)y\n-k)

n=0

V*) =

iM*i 5 ^m

(1.18)

, ^-1-1*1

(1.19)

^Rxy(^k) = — X x(n)y (n-k) ^N n=0

W zależności od wartości przesunięcia k liczba sumowanych, niezerowych elementów jest różna, ponieważ analizujemy sygnały o skończonej długości. Wraz ze wzrostem \k\ liczba dodawanych składników jest coraz mniejsza, maleje więc także wartość R^k), dana wzorem (1.17). Dlatego wprowadza się normowanie tej wartości przez aktualną liczbę składników występujących w sumie (1.18). Możliwe jest także dzielenie funkcji (1.17) przez długość korelowanych sygnałów i otrzymanie (1.19). Korelację liczoną z wzoru (1.17) nazywa się nieunormowaną, te wyznaczane zaś ze wzorów (1.18) i (1.19) - unormowanymi. Estymator funkcji korelacji (1.18) jest nieobciąiony, a estymator (1.19) - obciążony. Dalsze szczegóły dotyczące tych estymatorów przedstawiono w kolejnym podrozdziale, poświęconym sygnałom losowym.

Z definicji funkcji autokorelacji wynika, że funkcja ta dla sumy kilku sygnałów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach f_k i dowolnych fazach <(>*:

M

M

x{t) = X4 sin(2ji/*r + <)>*), x(n) = sin k=\    A=1

(1.20a)

jest równa (wyprowadzenie pozostawiamy Czytelnikowi jako „zadanie domowe”)

^f fk "

", A?

M .2

Al

^(^T)= X~^C0S(^^*^T)’ /?(>”) =X~^C0S

k = 1

k-1

f,

Pr

(1.20b)

Prtykład. Na rysunkach 1.6a - 1.6d są przedstawione następujące sygnały sinusoidalne x,(f) = sin(27t5r) i x₂(t) = sin(27t5/)+0,5sin(2jtlO/)+0,25sin(2jt30/) oraz ich funkcje autokorelacji R_x(x), wyliczone ze wzoru (1.19) po uprzedniej dyskretyzacji sygnałów (A/= 1 ms) i uwzględnieniu tylko jego N= 1000 próbek. Jak widać funkcje te są symetryczne względem punktu t = 0 oraz okresowe. W prosty sposób można z nich „odczytać” wartość okresu analizowanych sygnałów. Ponieważ funkcje te wyznaczono na podstawie skończonej liczby próbek