Obraz (1621)

.......piyiiu ul

przepływającego prze/, powierzchnię w jednostce czasu. Dywergencja funki |i \v« wej jest miarą „rozbieżności” wektorów w otoczeniu danego punktu; punkt, \i M dywergencja ma dużą wartość, zachowuje się jak „źródło”, z którego wypływa f Jeśli w obszarze wypełnionym płynem nieściśliwym mamy wiele „źródeł dodalnii h odpowiednia objętość płynu musi wydostawać się przez granice obszaru na /« Objętość wypływającego płynu można określić na dwa sposoby: (a) zliczając w \ i „źródła” i dodając ich wydajność lub (b) mierząc i dodając przepływ płynu w Lu

punkcie powierzchni ograniczającej obszar. W obu przypadkach otrzymamy u u wynik:

I' (źródła dodatnie i ujemne wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią)

= j) (gęstość strumienia przez powierziImiy Na tym polega istota twierdzenia o dywergencji.

Przykład 1.10

Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o dywergencji dla funkcji

v = y² x + (2xy + z²)y + (2yz) ź

i obszaru całkowania będącego sześcianem o boku równym 1, umieszczonym w sposób pr/nl stawiony na rys. 1.29.

Rys. t.29

Rozwiązanie: W tym przypadku

V • v = 2(x + y)

V

ooo

I    I

W i-

f It I v)<h ^ f V, I + y) dy = I, I I dz »= I.

O    O

V • vdr = 2.

/

I(ł»i w ii ii sposób lewi} stronę twierdzenia o dywergencji. Aby obliczyć całkę po-iłtw.| iii/ważamy każdi} z sześciu ścianek osobno:

HM

MIM

/ v da = / /

0 o

I l

I \ - da = - J j y² dydz =

o o

/^vda=//‘

(2* + z²)djcdz = i.

j \ ■ dii = - j J Z² dxdz = —^

0    o

1    I

j \ ■ da — J j 2y dardy = 1.

o o

i i

Mv)

(V)

(vl)

J\da — —J Jodxdy = 0.

n o

lut więc całkowity strumień przez powierzchnię wynosi

^v-da=i-| + i-i + l+0 = 2,

t /yli tyłe, ile oczekiwaliśmy.

Zadanie 1.32. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o dywergencji dla funkcji v = (jcy) x + (2yz) y + (3zx) ź i obszaru całkowania w postaci sześcianu o boku równym 2, przedstawionego na rys. 1.30.